Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
e)
e)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Essa matéria faz parte do cálculo integral, especificamente no estudo de métodos para integrar produtos de funções. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes até simplificar a expressão.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão
e
. Nesse caso, vamos definir:
Passo 3
Agora, vamos calcular
e
:
Para encontrar
, integramos
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
Passo 5
Agora, precisamos resolver a nova integral
usando novamente a integração por partes. Dessa vez, definimos:
Calculando
e
:
Passo 6
Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 7
Agora, vamos resolver novamente com integração por partes. Definimos:
Calculando
e
:
Passo 8
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Integrando
:
Portanto:
Passo 9
Voltando para a etapa anterior, onde tínhamos:
Distribuindo o
:
Passo 10
Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa integral original:
Distribuindo o
:
Resposta
Portanto, a integral é igual a:
Onde
é a constante de integração.
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a) e
a)
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k)
k)
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g)
g)