Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
e)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Essa matéria faz parte do cálculo integral, especificamente no estudo de métodos para integrar produtos de funções. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes até simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão e . Nesse caso, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular e :
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral usando novamente a integração por partes. Dessa vez, definimos:
Calculando e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver novamente com integração por partes. Definimos:
Calculando e :

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando:
Integrando :
Portanto:

Passo 9

Voltando para a etapa anterior, onde tínhamos:
Distribuindo o :

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa integral original:
Distribuindo o :

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde é a constante de integração.

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b) Ao redor do eixo dos .
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a) e
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
k)
Resolva as integrais indefinidas usando o método das frações parciais.
g)