Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
e) integral x^3 sen 4 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Essa matéria faz parte do cálculo integral, especificamente no estudo de métodos para integrar produtos de funções. Para resolver essa integral, vamos precisar aplicar a fórmula de integração por partes várias vezes até simplificar a expressão.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = u , v - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa integral serão u = x^3 e dv = sen(4x) , dx e . Nesse caso, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = ddx(x^3) , dx = 3x^2 , dx e v = integral sen(4x) , dx = -cos(4x)4 :
Para encontrar , integramos :

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:
integral x^3 sen(4x) , dx = u , v - integral v , du

Passo 5

Agora, precisamos resolver a nova integral u = x^2 e dv = cos(4x) , dx usando novamente a integração por partes. Dessa vez, definimos:
du = ddx(x^2) , dx = 2x , dx
Calculando v = integral cos(4x) , dx = sen(4x)4 e :

Passo 6

Aplicando a fórmula de integração por partes novamente:
integral x^2 cos(4x) , dx = u , v - integral v , du
Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 7

Agora, vamos resolver novamente com integração por partes. Definimos:
Calculando u = x e dv = sen(4x) , dx e du = dx :
v = integral sen(4x) , dx = -cos(4x)4

Passo 8

Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
integral x sen(4x) , dx = u , v - integral v , du
Simplificando:
= x (-cos(4x)4) - integral (-cos(4x)4) cdot 1 , dx
Integrando = -x cos(4x)4 + 14 integral cos(4x) , dx :
Portanto:

Passo 9

Voltando para a etapa anterior, onde tínhamos:
Distribuindo o integral x^2 cos(4x) , dx = x^2 sen(4x)4 - 12 ( -x cos(4x)4 + sen(4x)16 ) :

Passo 10

Agora, substituímos essa expressão de volta na nossa integral original:
Distribuindo o integral x^3 sen(4x) , dx = -x^3 cos(4x)4 + 34 ( x^2 sen(4x)4 + x cos(4x)8 - sen(4x)32 ) :

Resposta

Portanto, a integral é igual a:
Onde -x^3 cos(4x)4 + 3x^2 sen(4x)16 + 3x cos(4x)32 - 3 sen(4x)128 + C é a constante de integração.

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