Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
a)
e
a)
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a área da região que está limitada por três curvas:
,
e
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Precisamos resolver as equações duas a duas para encontrar os pontos de interseção.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre
e
.
Substituímos por
na equação de
:
Substituímos
Então, um ponto de interseção é
.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a interseção entre
e
.
Substituímos por
na equação de
:
Substituímos
Vamos resolver essa equação:
Adicionando aos dois lados:
Adicionando
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja
, então
:
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Assim,
ou
. Como
não pode ser negativo, descartamos
.
Então, , logo
e
.
Portanto, o outro ponto de interseção é .
Então,
Portanto, o outro ponto de interseção é
Passo 5
Agora que temos os pontos de interseção
e
, podemos visualizar a região a ser calculada. Ela está limitada à esquerda por
, abaixo por
e à direita por
.
Passo 6
Para encontrar a área, vamos integrar em relação a
, já que
está expressa em termos de
nas curvas
e
. A fórmula para a área entre duas curvas verticais é:
Aqui,
e
.
Passo 7
Determinar os limites de integração. Observamos que
varia de 1 a
:
- Quando
e , encontramos . - Quando
e , encontramos .
Passo 8
Agora, montamos a integral:
Passo 9
Vamos resolver a integral:
Então,
Passo 10
Calculamos nos limites:
Para :
Para
Para
:
Passo 11
Subtraímos os valores:
Para simplificar, achamos um denominador comum:
Resposta
A área da região limitada pelas curvas é:
Exercícios relacionados
Calcular as integrais definidas.
h)
h)
Resolva as integrais indefinidas usando o método da substituição trigonométrica.
d)
d)
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação, em torno do eixo dos x , da região
delimitada pelos gráficos das equações dadas.
a) e
a)
Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta
b) Ao redor do eixo dos .
b) Ao redor do eixo dos