Encontrar a área da região limitada pelas curvas dadas.
a) e

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a área da região que está limitada por três curvas: , e . Vamos precisar usar conceitos de cálculo, especificamente a integração para calcular áreas entre curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar onde essas curvas se intersectam para saber os limites de integração. Precisamos resolver as equações duas a duas para encontrar os pontos de interseção.

Passo 3

Vamos encontrar a interseção entre e .
Substituímos por na equação de :
Então, um ponto de interseção é .

Passo 4

Agora, vamos encontrar a interseção entre e .
Substituímos por na equação de :
Vamos resolver essa equação:
Adicionando aos dois lados:
Para facilitar, vamos fazer uma substituição: seja , então :
Resolvendo essa equação de segundo grau:
Assim, ou . Como não pode ser negativo, descartamos .
Então, , logo e .
Portanto, o outro ponto de interseção é .

Passo 5

Agora que temos os pontos de interseção e , podemos visualizar a região a ser calculada. Ela está limitada à esquerda por , abaixo por e à direita por .

Passo 6

Para encontrar a área, vamos integrar em relação a , já que está expressa em termos de nas curvas e . A fórmula para a área entre duas curvas verticais é:
Á
Aqui, e .

Passo 7

Determinar os limites de integração. Observamos que varia de 1 a :
  • Quando e , encontramos .
  • Quando e , encontramos .

Passo 8

Agora, montamos a integral:
Á

Passo 9

Vamos resolver a integral:
Então,
Á

Passo 10

Calculamos nos limites:
Para :
Para :

Passo 11

Subtraímos os valores:
Para simplificar, achamos um denominador comum:

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é:
Á

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