Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta
a) Ao redor do eixo dos

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente vai calcular a área da superfície de um cone que é formado quando giramos o segmento de reta no intervalo ao redor do eixo dos . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a fórmula para área de superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa girar uma função ao redor do eixo dos . Imagine que o gráfico da função de até é girado em círculo completo em torno do eixo dos . Isso forma um cone.

Passo 3

A fórmula para calcular a área da superfície de revolução em torno do eixo dos é:
Vamos identificar cada parte:
  • é a função que está sendo girada, aqui .
  • é a derivada de em relação a .
  • e são os limites de integração, no nosso caso e .

Passo 4

Vamos calcular a derivada de :
Então, .

Passo 5

Agora, substituímos na fórmula:
Como é uma constante, podemos simplificar:

Passo 6

Vamos calcular a integral:

Passo 7

Substituindo de volta:

Resposta

A área da superfície do cone é unidades de área.

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