Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
b)
; ao redor do eixo
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para determinar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região ao redor do eixo
. A gente vai usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica da cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisamos identificar as funções que delimitam a região e a nossa linha de rotação para aplicar a fórmula certinha.
Passo 2
Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região:
- A parábola
- As retas verticais
e - A reta horizontal
Essa região está situada entre
e
, e entre as curvas
e
. Vamos visualizar isso pra facilitar.
Passo 3
Agora, vamos pensar na rotação dessa área ao redor do eixo
. Como o eixo de rotação é uma linha horizontal, o método dos discos é ideal. A ideia é cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada fatia.
Passo 4
Para aplicar o método dos discos, precisamos determinar o raio de cada disco. O raio vai ser a distância vertical entre a função que está sendo rotacionada e o eixo de rotação. No nosso caso:
Aqui,
é o raio externo do disco.
Passo 5
A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
-
e são os limites de integração (no nosso caso, de 1 a 2) -
é o raio do disco
Passo 6
Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos expandir o termo
:
Passo 7
Substituindo a expressão expandida na integral:
Vamos integrar termo por termo:
Passo 8
Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 2:
Calculando para
:
E para
:
Passo 9
Subtraímos os valores obtidos:
Simplificando os termos:
Para somar essas frações, vamos colocar tudo com denominador 15:
Assim:
Resposta
O volume do sólido de revolução é
.
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