Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
b) ; ao redor do eixo

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para determinar o volume de um sólido gerado pela rotação de uma região ao redor do eixo . A gente vai usar o método dos discos ou anéis, que é uma técnica da cálculo integral para encontrar volumes de sólidos de revolução. Precisamos identificar as funções que delimitam a região e a nossa linha de rotação para aplicar a fórmula certinha.

Passo 2

Primeiro, vamos entender quais são as curvas que delimitam a região:
  • A parábola
  • As retas verticais e
  • A reta horizontal
Essa região está situada entre e , e entre as curvas e . Vamos visualizar isso pra facilitar.

Passo 3

Agora, vamos pensar na rotação dessa área ao redor do eixo . Como o eixo de rotação é uma linha horizontal, o método dos discos é ideal. A ideia é cortar o sólido em fatias fininhas perpendiculares ao eixo de rotação e calcular o volume de cada fatia.

Passo 4

Para aplicar o método dos discos, precisamos determinar o raio de cada disco. O raio vai ser a distância vertical entre a função que está sendo rotacionada e o eixo de rotação. No nosso caso:
Aqui, é o raio externo do disco.

Passo 5

A fórmula para o volume usando o método dos discos é:
Onde:
  • e são os limites de integração (no nosso caso, de 1 a 2)
  • é o raio do disco

Passo 6

Vamos substituir os valores na fórmula:
Agora, precisamos expandir o termo :

Passo 7

Substituindo a expressão expandida na integral:
Vamos integrar termo por termo:

Passo 8

Agora, avaliamos a integral definida de 1 a 2:
Calculando para :
E para :

Passo 9

Subtraímos os valores obtidos:
Simplificando os termos:
Para somar essas frações, vamos colocar tudo com denominador 15:
Assim:

Resposta

O volume do sólido de revolução é .

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