Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
h)

Passo 1

Então, temos que calcular a integral imprópria . Isso envolve o cálculo de uma integral definida onde a função pode ter comportamentos especiais nos limites de integração. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral: . Essa forma é similar à derivada da função arco seno, que é , cujo integral é .

Passo 3

Para adaptar nossa integral à forma da derivada do arco seno, fazemos uma substituição: . Assim, e . Substituindo na integral, temos:

Passo 4

Agora, a integral simplificada é , que sabemos ser igual a . Substituindo de volta , temos:

Passo 5

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Sabemos que e . Portanto:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados

Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
e)
Calcular as integrais definidas.
l)
Determinar o volume do sólido de revolução gerado pela rotação das regiões indicadas, ao redor dos eixos dados.
b) ; ao redor do eixo
Calcular a área da superfície do cone gerado pela revolução do segmento de reta
a) Ao redor do eixo dos