Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
h) integral0^4(d xraiz16-x^2)

Passo 1

Então, temos que calcular a integral imprópria integral0^4(dxraiz16-x^2). Isso envolve o cálculo de uma integral definida onde a função pode ter comportamentos especiais nos limites de integração. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções com raízes quadradas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral: 1raiz16 - x^2. Essa forma é similar à derivada da função arco seno, que é 1raiz1 - u^2, cujo integral é arcsin(u) + C.

Passo 3

Para adaptar nossa integral à forma da derivada do arco seno, fazemos uma substituição: u = x4. Assim, x = 4u e dx = 4du. Substituindo na integral, temos:
integral dxraiz16 - x^2 = integral 4duraiz16 - 16u^2 = integral 4du4raiz1 - u^2 = integral duraiz1 - u^2

Passo 4

Agora, a integral simplificada é integral duraiz1 - u^2, que sabemos ser igual a arcsin(u) + C. Substituindo de volta u = x4, temos:
arcsin(x4) + C

Passo 5

Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
[ arcsin(x4) ]0^4 = arcsin(44) - arcsin(04) = arcsin(1) - arcsin(0)
Sabemos que arcsin(1) = pi2 e arcsin(0) = 0. Portanto:
pi2 - 0 = pi2

Resposta

O valor da integral é pi2.

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