Calcular as integrais impróprias, caso sejam convergentes.
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Passo 1
Então, temos que calcular a integral imprópria
. Isso envolve o cálculo de uma integral definida onde a função pode ter comportamentos especiais nos limites de integração. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especificamente integrais envolvendo funções com raízes quadradas.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da integral:
. Essa forma é similar à derivada da função arco seno, que é
, cujo integral é
.
Passo 3
Para adaptar nossa integral à forma da derivada do arco seno, fazemos uma substituição:
. Assim,
e
. Substituindo na integral, temos:
Passo 4
Agora, a integral simplificada é
, que sabemos ser igual a
. Substituindo de volta
, temos:
Passo 5
Finalmente, aplicamos os limites de integração de 0 a 4:
Sabemos que
e
. Portanto:
Resposta
O valor da integral é
.