Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
l)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral usando a técnica de integração por partes. Basicamente, integração por partes é uma forma de integrar produtos de funções, dividindo a integral em partes menores que são mais fáceis de resolver. Vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma para derivar e outra para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral vai ser e qual vai ser . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos deixar:
E o restante será :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar e . Vamos começar derivando :
Para derivar , lembramos que:
Mas aqui temos , então aplicamos a regra da cadeia:
Agora, vamos integrar para encontrar :
Integrando:

Passo 4

Com , , e identificados, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo nossos valores:

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Então, a integral fica:

Passo 6

A integral é uma integral padrão que sabemos resolver:
Substituindo de volta:
E lembrando que :

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:

Resposta

A integral é igual a:

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h)