Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
l) integral 2 x sen^-1(x^2) d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral integral 2x cdot sen^-1(x^2) dx usando a técnica de integração por partes. Basicamente, integração por partes é uma forma de integrar produtos de funções, dividindo a integral em partes menores que são mais fáceis de resolver. Vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma para derivar e outra para integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral vai ser u = sen^-1(x^2) e qual vai ser dv = 2x , dx . Geralmente, escolhemos como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos deixar:
E o restante será :

Passo 3

Agora, precisamos encontrar u = sen^-1(x^2) e ddx sen^-1(x) = 1raiz1 - x^2 . Vamos começar derivando du = ddx sen^-1(x^2) = 2xraiz1 - x^4 dx :
dv = 2x , dx
Para derivar v = integral 2x , dx = x^2 , lembramos que:
Mas aqui temos , então aplicamos a regra da cadeia:
Agora, vamos integrar para encontrar :
Integrando:

Passo 4

Com integral u , dv = u cdot v - integral v , du , integral 2x cdot sen^-1(x^2) dx = sen^-1(x^2) cdot x^2 - integral x^2 cdot 2xraiz1 - x^4 dx , e identificados, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo nossos valores:

Passo 5

Simplificando a segunda integral:
integral x^2 cdot 2xraiz1 - x^4 dx = 2 integral x^3raiz1 - x^4 dx
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
t = x^4 Rightarrow dt = 4x^3 dx Rightarrow dt4 = x^3 dx
Então, a integral fica:
2 integral x^3raiz1 - x^4 dx = 2 cdot 14 integral dtraiz1 - t = 12 integral dtraiz1 - t

Passo 6

A integral integral dtraiz1 - t = -2raiz1 - t + C é uma integral padrão que sabemos resolver:
12 cdot (-2raiz1 - t) + C = -raiz1 - t + C
Substituindo de volta:
-raiz1 - x^4 + C
E lembrando que :

Passo 7

Voltando à nossa expressão original:
integral 2x cdot sen^-1(x^2) dx = x^2 cdot sen^-1(x^2) - (-raiz1 - x^4) + C
Simplificando:
x^2 cdot sen^-1(x^2) + raiz1 - x^4 + C

Resposta

A integral é igual a:
x^2 cdot sen^-1(x^2) + raiz1 - x^4 + C

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