Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
l)
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Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa resolver a integral
usando a técnica de integração por partes. Basicamente, integração por partes é uma forma de integrar produtos de funções, dividindo a integral em partes menores que são mais fáceis de resolver. Vamos precisar identificar duas partes na nossa integral: uma para derivar e outra para integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa integral vai ser
e qual vai ser
. Geralmente, escolhemos
como a parte que fica mais simples quando derivada. Então, vamos deixar:
E o restante será
:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar
e
. Vamos começar derivando
:
Para derivar
, lembramos que:
Mas aqui temos
, então aplicamos a regra da cadeia:
Agora, vamos integrar
para encontrar
:
Integrando:
Passo 4
Com
,
,
e
identificados, aplicamos a fórmula da integração por partes:
Substituindo nossos valores:
Passo 5
Simplificando a segunda integral:
Vamos fazer uma substituição para facilitar. Seja:
Então, a integral fica:
Passo 6
A integral
é uma integral padrão que sabemos resolver:
Substituindo de volta:
E lembrando que
:
Passo 7
Voltando à nossa expressão original:
Simplificando:
Resposta
A integral é igual a:
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b)
Resolva as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
n)
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h)
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