Calcular a área da superfície / parte da superfície: Superfície obtida girando-se o círculo (x-a)² + z² = r², 0 < r < a em torno do eixo z

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a área da superfície gerada ao girar um círculo dado pela equação , onde , em torno do eixo z. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas de superfícies de revolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a forma da superfície. A equação representa um círculo no plano xz com centro no ponto e raio r. Quando giramos esse círculo em torno do eixo z, ele forma um toro (uma espécie de donut).

Passo 3

Para calcular a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de uma superfície de revolução. A fórmula geral para a área A obtida ao girar uma curva em torno do eixo x é:
No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo z, precisamos adaptar a fórmula para o eixo vertical.

Passo 4

Vamos reescrever a equação do círculo para expressar x em função de z:
Isso nos dá duas funções que descrevem o círculo.

Passo 5

Vamos escolher a parte positiva para simplificar, pois a área será a mesma. Então, temos:
Agora, vamos encontrar a derivada :

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da área de superfície de revolução em torno do eixo z:
Substituindo e na fórmula:

Passo 7

Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então,

Passo 8

Substituindo de volta na integral:

Passo 9

Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é uma integral padrão, e a segunda é simplesmente a integral de 1 sobre o intervalo.

Passo 10

Calculando as integrais:
  1. Para , o resultado é .
  2. Para , o resultado é z.
Então,

Passo 11

Simplificando:

Passo 12

Portanto, a área total da superfície é:

Resposta

A área da superfície gerada é .

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