Calcular a área da superfície / parte da superfície: Superfície obtida girando-se o círculo
em torno do eixo
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema pede para calcular a área da superfície gerada ao girar um círculo dado pela equação
, onde
, em torno do eixo
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente o cálculo de áreas de superfícies de revolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a forma da superfície. A equação
representa um círculo no plano xz com centro no ponto
e raio
. Quando giramos esse círculo em torno do eixo
, ele forma um toro (uma espécie de donut).
Passo 3
Para calcular a área dessa superfície, vamos usar a fórmula da área de uma superfície de revolução. A fórmula geral para a área
obtida ao girar uma curva
em torno do eixo
é:
No nosso caso, como estamos girando em torno do eixo
, precisamos adaptar a fórmula para o eixo vertical.
Passo 4
Vamos reescrever a equação do círculo para expressar
em função de
:
Isso nos dá duas funções que descrevem o círculo.
Passo 5
Vamos escolher a parte positiva para simplificar, pois a área será a mesma. Então, temos:
Agora, vamos encontrar a derivada
:
Passo 6
Agora, aplicamos a fórmula da área de superfície de revolução em torno do eixo
:
Substituindo
e
na fórmula:
Passo 7
Simplificamos a expressão dentro da raiz:
Então,
Passo 8
Substituindo de volta na integral:
Passo 9
Vamos separar a integral em duas partes:
A primeira integral é uma integral padrão, e a segunda é simplesmente a integral de 1 sobre o intervalo.
Passo 10
Calculando as integrais:
-
Para
, o resultado é . -
Para
, o resultado é .
Então,
Passo 11
Simplificando:
Passo 12
Portanto, a área total da superfície é:
Resposta
A área da superfície gerada é
.
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