Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty (-2)^nn^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Razão que ajuda a determinar a convergência das séries. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é L = limn to infty | an+1an | . O Teste da Razão nos diz que, para verificar a convergência da série, calculamos o limite da razão entre an+1an = (-2)^n+1 / (n+1)^2(-2)^n / n^2 = (-2) cdot n^2(n+1)^2 e | an+1an | = | (-2) cdot n^2(n+1)^2 | = 2n^2(n+1)^2 quando tende ao infinito:
Vamos calcular essa razão:
Agora, tiramos o valor absoluto porque o teste usa o módulo:

Passo 3

Em seguida, calculamos o limite desse valor quando L = limn to infty 2n^2(n+1)^2 tende ao infinito:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Expandindo o denominador:
L = limn to infty 2n^2n^2 + 2n + 1
Então,
L = limn to infty 21 + 2n + 1n^2 = 21 + 0 + 0 = 2
Dividindo numerador e denominador por :

Passo 4

Agora, interpretamos o resultado do limite:
  • Se , a série converge.
  • Se , a série diverge.
  • Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, segundo o Teste da Razão, a série diverge.

Resposta

A série é divergente.

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Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
sumn=1^infty ln (n)n
Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
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