Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries infinitas, mais especificamente o Teste da Razão que ajuda a determinar a convergência das séries. Vamos precisar entender como aplicar esse teste passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o termo geral da série, que é . O Teste da Razão nos diz que, para verificar a convergência da série, calculamos o limite da razão entre e quando tende ao infinito:
Vamos calcular essa razão:
Agora, tiramos o valor absoluto porque o teste usa o módulo:
Passo 3
Em seguida, calculamos o limite desse valor quando L = limn to infty 2n^2(n+1)^2 tende ao infinito:
(n+1)^2 = n^2 + 2n + 1
Expandindo o denominador:
L = limn to infty 2n^2n^2 + 2n + 1
Então,
L = limn to infty 21 + 2n + 1n^2 = 21 + 0 + 0 = 2
Dividindo numerador e denominador por :
Passo 4
Agora, interpretamos o resultado do limite:
Se , a série converge.
Se , a série diverge.
Se , o teste não é conclusivo.
No nosso caso, , que é maior que 1. Portanto, segundo o Teste da Razão, a série diverge.