Decida se cada uma das séries abaixo é convergente ou divergente, calculando sua soma quando possível:
Passo 1
Vamos dar uma olhada na série . Aqui, estamos trabalhando com séries infinitas e queremos descobrir se essa série específica converge (ou seja, soma até um valor finito) ou diverge (cresce sem limite). Para resolver isso, vamos usar um teste de convergência que nos ajuda a determinar o comportamento dessa série.
Passo 2
Um bom método para analisar esse tipo de série é o Teste da Integral. Esse teste compara a série com uma integral correspondente para verificar sua convergência. A ideia é que se a integral associada a uma função que representa os termos da série converge, então a série também converge, e vice-versa.
Passo 3
Primeiro, vamos identificar a função contínua, positiva e decrescente que corresponde aos termos da nossa série. No caso, temos . Agora, vamos calcular a integral imprópria de de 1 até o infinito:
Passo 4
Para resolver essa integral, usamos uma substituição simples. Seja , então . Substituindo na integral, temos:
Essa integral se torna:
Passo 5
Agora, avaliamos os limites da integral:
limu to infty u^22 - 0^22 = infty
Isso significa que a integral diverge, ou seja, cresce sem limite.
Resposta
Como a integral diverge, pelo Teste da Integral, a série também diverge.