Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo
, da curva dada por
onde
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a área da superfície de revolução. A questão pede para calcular a área gerada ao girar a curva
em torno do eixo
no intervalo de
. Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para a área de uma superfície de revolução.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função
. A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em relação a
.
Derivando em relação a
:
Passo 3
Agora, utilizamos a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo
:
Onde:
-
-
- Limites de integração são
e
Passo 4
Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Agora, calculamos a integral:
Integrando:
Aplicando os limites:
Calculando cada termo:
Então:
Simplificando:
Resposta
A área da superfície de revolução é:
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Calcule o comprimento da curva Hipociclóide dada pela equação paramétrica
e
.
Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo
, da curva dada por
onde .
onde
Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido Acima do cone
e abaixo da esfera
.
Individualmente, faça um resumo de todas as técnicas de integração abordadas em aula, com exemplos.