Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo -x, da curva dada por y = f(x) = 4 * raiz(x) onde 1/4 <= x <= 4

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo envolvendo a área da superfície de revolução. A questão pede para calcular a área gerada ao girar a curva em torno do eixo no intervalo de . Para isso, vamos utilizar conceitos de cálculo diferencial, especificamente a fórmula para a área de uma superfície de revolução.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender como a função está mudando em relação a .
Derivando em relação a :

Passo 3

Agora, utilizamos a fórmula para a área da superfície de revolução em torno do eixo :
Onde:
  • Limites de integração são e

Passo 4

Substituindo os valores na fórmula:
Simplificando dentro da raiz:
Então, a integral fica:
Agora, calculamos a integral:
Integrando:
Aplicando os limites:
Calculando cada termo:
Então:
Simplificando:

Resposta

A área da superfície de revolução é:

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