Utilize integral dupla em coordenadas polares para calcular o volume do sólido Acima do cone
e abaixo da esfera
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício usando integral dupla em coordenadas polares para encontrar o volume do sólido que está acima do cone
e abaixo da esfera
. Vamos precisar entender como converter as equações para coordenadas polares e montar os limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos converter as equações para coordenadas polares. Lembrando que em coordenadas polares,
e
, e
.
A equação do cone
fica
.
A equação da esfera
fica
.
Passo 3
Vamos encontrar a interseção entre o cone e a esfera para determinar os limites de integração. Substituindo
na equação da esfera:
Então,
varia de 0 até
.
Passo 4
Agora, vamos expressar o volume usando uma integral dupla em coordenadas polares. O volume
pode ser calculado como:
Aqui,
vem da resolução da equação da esfera para
, e
vem do cone.
Passo 5
Vamos integrar com relação a
primeiro. A integral interna fica:
Vamos resolver essa integral separadamente.
Passo 6
Primeiro, a integral de
:
Fazendo a substituição
,
, então:
Passo 7
Agora, a integral de
:
Passo 8
Juntando as duas partes, a integral interna fica:
Calculando nos limites:
Para
:
Para
:
Subtraindo:
Passo 9
Simplificando os termos:
Passo 10
Agora, voltando à integral externa, multiplicamos pelo
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.
Exercícios relacionados
Calcular a área da superfície de revolução obtida pela rotação, em torno do eixo
, da curva dada por
onde
Calcule o comprimento da curva Hipociclóide dada pela equação paramétrica
e
.
Individualmente, faça um resumo de todas as técnicas de integração abordadas em aula, com exemplos.
Utilize a substituição
para mostrar que
em que
denota uma constante arbitrária.