Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC , dado que:
a)
e
.
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área do triângulo ABC e também a altura em relação ao lado BC. Os pontos dados são A(4,2,1), B(1,0,1) e C(1,2,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produto vetorial e fórmula da área de um triângulo usando esses vetores.
Passo 2
Primeiro, vamos representar os lados do triângulo como vetores. Vamos escolher o vetor AB e o vetor AC:
- AB = B - A = (1−4, 0−2, 1−1) = (-3, -2, 0)
- AC = C - A = (1−4, 2−2, 0−1) = (-3, 0, -1)
Passo 3
Agora, para encontrar a área do triângulo, a gente usa a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores AB e AC:
O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano dos vetores AB e AC, e a norma desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por AB e AC. Como queremos a área do triângulo, dividimos por 2.
Passo 4
Vamos calcular o produto vetorial AB × AC:
Passo 5
Agora, calculamos a norma desse vetor:
Então, a área do triângulo é:
Passo 6
Para encontrar a altura relativa ao lado BC, primeiro precisamos calcular o comprimento de BC. Vamos encontrar as coordenadas de B e C:
B(1,0,1) e C(1,2,0). O vetor BC é:
B(1,0,1) e C(1,2,0). O vetor BC é:
O comprimento de BC é:
Passo 7
A altura (h) relativa ao lado BC pode ser encontrada usando a relação entre a área do triângulo e a base:
Resolvendo para h:
Resposta
A área do triângulo ABC é 3,5 unidades de área e a altura relativa ao lado BC é aproximadamente 3,130 unidades de comprimento.