Calcular a área do triângulo ABC e a altura relativa ao lado BC , dado que:
a) A(4,2,1), B(1,0,1) e C(1,2,0).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a área do triângulo ABC e também a altura em relação ao lado BC. Os pontos dados são A(4,2,1), B(1,0,1) e C(1,2,0). Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica no espaço tridimensional, como vetores, produto vetorial e fórmula da área de um triângulo usando esses vetores.

Passo 2

Primeiro, vamos representar os lados do triângulo como vetores. Vamos escolher o vetor AB e o vetor AC:
  • AB = B - A = (1−4, 0−2, 1−1) = (-3, -2, 0)
  • AC = C - A = (1−4, 2−2, 0−1) = (-3, 0, -1)

Passo 3

Agora, para encontrar a área do triângulo, a gente usa a fórmula que envolve o produto vetorial dos vetores AB e AC:
Área = 12 | AB times AC | Á
O produto vetorial nos dá um vetor perpendicular ao plano dos vetores AB e AC, e a norma desse vetor é igual à área do paralelogramo formado por AB e AC. Como queremos a área do triângulo, dividimos por 2.

Passo 4

Vamos calcular o produto vetorial AB × AC:
AB times AC = i & j & k -3 & -2 & 0 -3 & 0 & -1
= i((-2)(-1) - (0)(0)) - j((-3)(-1) - (0)(-3)) + k((-3)(0) - (-2)(-3))
= i(2) - j(3) + k(-6)
= (2, -3, -6)

Passo 5

Agora, calculamos a norma desse vetor:
| AB times AC | = raiz2^2 + (-3)^2 + (-6)^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7
Então, a área do triângulo é:
Área = 12 times 7 = 3,5 Á

Passo 6

Para encontrar a altura relativa ao lado BC, primeiro precisamos calcular o comprimento de BC. Vamos encontrar as coordenadas de B e C:
B(1,0,1) e C(1,2,0). O vetor BC é:
BC = C - B = (1−1, 2−0, 0−1) = (0, 2, -1)
O comprimento de BC é:
| BC | = raiz0^2 + 2^2 + (-1)^2 = raiz0 + 4 + 1 = raiz5 approx 2,236

Passo 7

A altura (h) relativa ao lado BC pode ser encontrada usando a relação entre a área do triângulo e a base:
Área = 12 times base times aÁ
Resolvendo para h:
h = 2 times 3,5raiz5 = 7raiz5 = 7raiz55 approx 3,130

Resposta

A área do triângulo ABC é 3,5 unidades de área e a altura relativa ao lado BC é aproximadamente 3,130 unidades de comprimento.

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