Determinar o ponto de interseção da reta r com o Plano pi
r:lx=lambda y=-10+lambda z=1-lambda e pi: 2 x-y+3 z-9=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede para encontrar o ponto onde a reta intercepta o plano . Para isso, vamos trabalhar com conceitos de geometria analítica, mais especificamente com equações paramétricas de retas e equações cartesianas de planos. Precisaremos substituir as equações da reta na equação do plano e resolver para o parâmetro , que nos dará as coordenadas do ponto de interseção.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações paramétricas da reta x = lambda y = -10 + lambda z = 1 - lambda :
Aqui, é o parâmetro que varia ao longo da reta.

Passo 3

Agora, vamos considerar a equação do plano 2x - y + 3z - 9 = 0 :
Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa equação quando substituímos , e pelas expressões da reta.

Passo 4

Vamos substituir as equações da reta na equação do plano:
2(lambda) - (-10 + lambda) + 3(1 - lambda) - 9 = 0
Simplificando passo a passo:
2lambda + 10 - lambda + 3 - 3lambda - 9 = 0
(2lambda - lambda - 3lambda) + (10 + 3 - 9) = 0
-2lambda + 4 = 0

Passo 5

Agora, resolvemos para -2lambda + 4 = 0 -2lambda = -4 lambda = 2 :

Resposta

Substituindo x = 2 y = -10 + 2 = -8 z = 1 - 2 = -1 nas equações da reta, encontramos as coordenadas do ponto de interseção:
Portanto, o ponto de interseção da reta com o plano é .

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