Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos P, Q e R e calcular a área do triângulo P Q R, dado que:
a) P(3,0,0), Q(0,3,0), R(0,0,2);

Passo 1

Ok, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano formado pelos pontos P, Q e R, e também calcular a área do triângulo formado por esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular vetores a partir dos pontos dados e usar o produto vetorial para achar o vetor ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os vetores que estão nos lados do triângulo. Vamos calcular os vetores PQ e PR. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
PQ = Q - P = (0-3, 3-0, 0-0) = (-3, 3, 0)
PR = R - P = (0-3, 0-0, 2-0) = (-3, 0, 2)

Passo 3

Agora, para encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano, ou seja, perpendicular a ambos os vetores PQ e PR, usamos o produto vetorial entre PQ e PR. O produto vetorial de dois vetores em três dimensões resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais.
PQ times PR = i & j & k -3 & 3 & 0 -3 & 0 & 2
Calculando o determinante:
PQ times PR = i(3 cdot 2 - 0 cdot 0) - j(-3 cdot 2 - 0 cdot -3) + k(-3 cdot 0 - 3 cdot -3) = (6)i - (-6)j + (9)k = (6, 6, 9)
Então, o vetor ortogonal ao plano é (6, 6, 9).

Passo 4

Para calcular a área do triângulo PQR, usamos a fórmula que relaciona a área com o produto vetorial dos vetores que formam dois lados do triângulo:
Área = 12 |PQ times PR| Á
Primeiro, vamos calcular o módulo (ou norma) do vetor resultante do produto vetorial:
|PQ times PR| = raiz6^2 + 6^2 + 9^2 = raiz36 + 36 + 81 = raiz153 approx 12,37
Então, a área do triângulo é:
Área = 12 times 12,37 approx 6,19 Á

Resposta

Um vetor ortogonal ao plano formado pelos pontos P, Q e R é (6, 6, 9), e a área do triângulo PQR é aproximadamente 6,19 unidades de área.

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Sejam A=(ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & -1), B=(ccc-2 & 0 & 1 3 & 0 & 1), C=(c-1 2 4), D=(ll-2 & 1), E=(cc1 & 0 3 & -1 4 & 2), F=(ll1 & 0 0 & 1). Calcule, quando possível:
C^T E-3 D
Sejam A=(ccc1 & 2 & 3 2 & 1 & -1), B=(ccc-2 & 0 & 1 3 & 0 & 1), C=(c-1 2 4), D=(ll-2 & 1), E=(cc1 & 0 3 & -1 4 & 2), F=(ll1 & 0 0 & 1). Calcule, quando possível:
E F+A^T-B^T