Encontrar um vetor ortogonal ao plano determinado pelos pontos
e R e calcular a área do triângulo
, dado que:
a)
;
a)
Passo 1
Ok, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano formado pelos pontos P, Q e R, e também calcular a área do triângulo formado por esses pontos. Para isso, vamos usar conceitos de vetores e geometria no espaço tridimensional. Vamos precisar calcular vetores a partir dos pontos dados e usar o produto vetorial para achar o vetor ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os vetores que estão nos lados do triângulo. Vamos calcular os vetores PQ e PR. Para isso, subtraímos as coordenadas dos pontos:
Passo 3
Agora, para encontrar um vetor que seja ortogonal ao plano, ou seja, perpendicular a ambos os vetores PQ e PR, usamos o produto vetorial entre PQ e PR. O produto vetorial de dois vetores em três dimensões resulta em um novo vetor perpendicular aos dois originais.
Calculando o determinante:
Então, o vetor ortogonal ao plano é (6, 6, 9).
Passo 4
Para calcular a área do triângulo PQR, usamos a fórmula que relaciona a área com o produto vetorial dos vetores que formam dois lados do triângulo:
Primeiro, vamos calcular o módulo (ou norma) do vetor resultante do produto vetorial:
Então, a área do triângulo é:
Resposta
Um vetor ortogonal ao plano formado pelos pontos P, Q e R é (6, 6, 9), e a área do triângulo PQR é aproximadamente 6,19 unidades de área.