Calcular a área do triângulo de vértices:
(a) A(-1,0,2), B(-4,1,1) e C(0,1,3)
(b) A(1,0,1), B(4,2,1) e C(1,2,0)
© A(2,3,-1), B(3,1,-2) e C(-1,0,2)
(d) A(-1,2,-2), B(2,3,-1) e C(0,1,1)

Passo 1

Vamos calcular a área de um triângulo dado por três pontos no espaço tridimensional. Para isso, usaremos vetores e o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores. Depois, dividimos esse valor por 2 para obter a área do triângulo. Precisaremos das coordenadas dos vértices e saber como calcular vetores a partir desses pontos.

Passo 2

Parte (a): Vértices AB = B - A = (-4 - (-1), 1 - 0, 1 - 2) = (-3, 1, -1) , AC = C - A = (0 - (-1), 1 - 0, 3 - 2) = (1, 1, 1) e .
Primeiro, vamos formar dois vetores usando esses pontos. Podemos escolher e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial u times v = (u2 v3 - u3 v2, , u3 v1 - u1 v3, , u1 v2 - u2 v1) . O produto vetorial de dois vetores AB times AC = (1 cdot 1 - (-1) cdot 1, , (-1) cdot 1 - (-3) cdot 1, , (-3) cdot 1 - 1 cdot 1) = (2, 2, -4) e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 4

Vamos calcular o módulo do produto vetorial para encontrar a área do paralelogramo:
|AB times AC| = raiz2^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz4 + 4 + 16 = raiz24 = 2raiz6

Passo 5

Finalmente, para obter a área do triângulo, dividimos por 2:
Área = 12 |AB times AC| = 12 times 2raiz6 = raiz6 Á

Passo 6

Vamos calcular a área do triângulo com os vértices , e . Usaremos vetores e o produto vetorial para encontrar a área, seguindo os mesmos passos da parte anterior.

Passo 7

Parte (b): Vértices AB = B - A = (4 - 1, 2 - 0, 1 - 1) = (3, 2, 0) , AC = C - A = (1 - 1, 2 - 0, 0 - 1) = (0, 2, -1) e .
Primeiro, formamos os vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 8

Calculamos o produto vetorial AB times AC = (2 cdot (-1) - 0 cdot 2, , 0 cdot 0 - 3 cdot (-1), , 3 cdot 2 - 2 cdot 0) = (-2, 3, 6) :

Passo 9

Calculamos o módulo do produto vetorial:
|AB times AC| = raiz(-2)^2 + 3^2 + 6^2 = raiz4 + 9 + 36 = raiz49 = 7

Passo 10

Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Área = 12 times 7 = 72 Á

Passo 11

Agora, vamos calcular a área do triângulo com os vértices , e . Usaremos vetores e o produto vetorial para encontrar a área.

Passo 12

Parte ©: Vértices AB = B - A = (3 - 2, 1 - 3, -2 - (-1)) = (1, -2, -1) , AC = C - A = (-1 - 2, 0 - 3, 2 - (-1)) = (-3, -3, 3) e .
Formamos os vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 13

Calculamos o produto vetorial AB times AC = ((-2) cdot 3 - (-1) cdot (-3), , (-1) cdot (-3) - 1 cdot 3, , 1 cdot (-3) - (-2) cdot (-3)) = (-6 - 3, 3 - 3, -3 - 6) = (-9, 0, -9) :

Passo 14

Calculamos o módulo do produto vetorial:
|AB times AC| = raiz(-9)^2 + 0^2 + (-9)^2 = raiz81 + 0 + 81 = raiz162 = 9raiz2

Passo 15

Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Área = 12 times 9raiz2 = 9raiz22 Á

Passo 16

Por fim, vamos calcular a área do triângulo com os vértices , e . Novamente, usaremos vetores e o produto vetorial.

Passo 17

Parte (d): Vértices AB = B - A = (2 - (-1), 3 - 2, -1 - (-2)) = (3, 1, 1) , AC = C - A = (0 - (-1), 1 - 2, 1 - (-2)) = (1, -1, 3) e .
Formamos os vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 18

Calculamos o produto vetorial AB times AC = (1 cdot 3 - 1 cdot (-1), , 1 cdot 1 - 3 cdot 3, , 3 cdot (-1) - 1 cdot 1) = (3 +1, 1 -9, -3 -1) = (4, -8, -4) :

Passo 19

Calculamos o módulo do produto vetorial:
|AB times AC| = raiz4^2 + (-8)^2 + (-4)^2 = raiz16 + 64 + 16 = raiz96 = 4raiz6

Passo 20

Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Área = 12 times 4raiz6 = 2raiz6 Á

Resposta

A área do triângulo na parte (d) é unidades quadradas.

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