Calcular a área do triângulo de vértices:
(a)
e
(b)
e
©
e
(d)
e
(a)
(b)
©
(d)
Passo 1
Vamos calcular a área de um triângulo dado por três pontos no espaço tridimensional. Para isso, usaremos vetores e o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores. Depois, dividimos esse valor por 2 para obter a área do triângulo. Precisaremos das coordenadas dos vértices e saber como calcular vetores a partir desses pontos.
Passo 2
Parte (a): Vértices
,
e
.
Primeiro, vamos formar dois vetores usando esses pontos. Podemos escolher
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 3
Agora, vamos calcular o produto vetorial
. O produto vetorial de dois vetores
e
é dado por:
Aplicando isso aos vetores
e
:
Passo 4
Vamos calcular o módulo do produto vetorial para encontrar a área do paralelogramo:
Passo 5
Finalmente, para obter a área do triângulo, dividimos por 2:
Passo 6
Vamos calcular a área do triângulo com os vértices
,
e
. Usaremos vetores e o produto vetorial para encontrar a área, seguindo os mesmos passos da parte anterior.
Passo 7
Parte (b): Vértices
,
e
.
Primeiro, formamos os vetores
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 8
Calculamos o produto vetorial
:
Passo 9
Calculamos o módulo do produto vetorial:
Passo 10
Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Passo 11
Agora, vamos calcular a área do triângulo com os vértices
,
e
. Usaremos vetores e o produto vetorial para encontrar a área.
Passo 12
Parte ©: Vértices
,
e
.
Formamos os vetores
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 13
Calculamos o produto vetorial
:
Passo 14
Calculamos o módulo do produto vetorial:
Passo 15
Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Passo 16
Por fim, vamos calcular a área do triângulo com os vértices
,
e
. Novamente, usaremos vetores e o produto vetorial.
Passo 17
Parte (d): Vértices
,
e
.
Formamos os vetores
e
.
Calculando
:
Calculando
:
Passo 18
Calculamos o produto vetorial
:
Passo 19
Calculamos o módulo do produto vetorial:
Passo 20
Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Resposta
A área do triângulo na parte (d) é
unidades quadradas.
Exercícios relacionados
A função f é tal que
. Nestas condições,
é igual a:
Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
a)
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
a)
Dados os vetores
e
, determine
Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
d)
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
d)