Calcular a área do triângulo de vértices:
(a) e
(b) e
© e
(d) e

Passo 1

Vamos calcular a área de um triângulo dado por três pontos no espaço tridimensional. Para isso, usaremos vetores e o produto vetorial, que nos ajuda a encontrar a área do paralelogramo formado por dois vetores. Depois, dividimos esse valor por 2 para obter a área do triângulo. Precisaremos das coordenadas dos vértices e saber como calcular vetores a partir desses pontos.

Passo 2

Parte (a): Vértices , e .
Primeiro, vamos formar dois vetores usando esses pontos. Podemos escolher e .
Calculando :
Calculando :

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto vetorial . O produto vetorial de dois vetores e é dado por:
Aplicando isso aos vetores e :

Passo 4

Vamos calcular o módulo do produto vetorial para encontrar a área do paralelogramo:

Passo 5

Finalmente, para obter a área do triângulo, dividimos por 2:
Á

Passo 6

Vamos calcular a área do triângulo com os vértices , e . Usaremos vetores e o produto vetorial para encontrar a área, seguindo os mesmos passos da parte anterior.

Passo 7

Parte (b): Vértices , e .
Primeiro, formamos os vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 8

Calculamos o produto vetorial :

Passo 9

Calculamos o módulo do produto vetorial:

Passo 10

Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Á

Passo 11

Agora, vamos calcular a área do triângulo com os vértices , e . Usaremos vetores e o produto vetorial para encontrar a área.

Passo 12

Parte ©: Vértices , e .
Formamos os vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 13

Calculamos o produto vetorial :

Passo 14

Calculamos o módulo do produto vetorial:

Passo 15

Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Á

Passo 16

Por fim, vamos calcular a área do triângulo com os vértices , e . Novamente, usaremos vetores e o produto vetorial.

Passo 17

Parte (d): Vértices , e .
Formamos os vetores e .
Calculando :
Calculando :

Passo 18

Calculamos o produto vetorial :

Passo 19

Calculamos o módulo do produto vetorial:

Passo 20

Dividimos por 2 para obter a área do triângulo:
Á

Resposta

A área do triângulo na parte (d) é unidades quadradas.

Exercícios relacionados

A função f é tal que . Nestas condições, é igual a:
Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
a)
Dados os vetores e , determine
Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
d)