Dados os vetores u=5 i+4 j+3 k e v=i+k, determine u times v

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem dois vetores: u=5,i + 4,j + 3,k e v=i + k. O que a gente precisa fazer aqui é calcular o produto vetorial desses dois vetores, que é representado por u times v. Para isso, vamos usar a regra do determinante, que nos ajuda a achar o vetor resultante desse produto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o produto vetorial. O produto vetorial entre dois vetores no espaço tridimensional resulta em um vetor que é perpendicular aos dois vetores originais. A fórmula para calcular u times v é usando o determinante de uma matriz onde as primeiras linhas são os vetores unitários i, j e k, e os elementos seguintes são as componentes dos vetores u e v.

Passo 3

Vamos montar a matriz para calcular o determinante:
u times v = i & j & k 5 & 4 & 3 1 & 0 & 1

Passo 4

Agora, vamos calcular o determinante dessa matriz. Lembrando que para cada componente do vetor resultante, fazemos o seguinte:
  • A componente de i é o determinante da submatriz formada eliminando a coluna de i:
4 & 3 0 & 1 = (4)(1) - (3)(0) = 4
  • A componente de j é o determinante da submatriz eliminando a coluna de j, com sinal negativo:
- 5 & 3 1 & 1 = -[(5)(1) - (3)(1)] = -(5 - 3) = -2
  • A componente de k é o determinante da submatriz eliminando a coluna de k:
5 & 4 1 & 0 = (5)(0) - (4)(1) = 0 - 4 = -4

Passo 5

Agora, juntando todas as componentes que calculamos, o vetor resultante do produto vetorial é:
u times v = 4,i - 2,j - 4,k

Resposta

u times v = 4,i - 2,j - 4,k

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