Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
d)
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
d)
Passo 1
Beleza, vamos resolver a parábola dada pela equação
. O conteúdo que vamos usar aqui é sobre parábolas no plano cartesiano. Precisamos identificar o vértice, o foco, a diretriz, o eixo focal, o comprimento do Latus Rectum e fazer um esboço da parábola. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da parábola e lembrar alguns conceitos básicos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação de uma parábola. A equação geral é:
Aqui,
é o vértice da parábola e
é a distância do vértice ao foco. Se
é positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, abre para a esquerda.
Na nossa equação
, podemos comparar com a forma padrão e ver que:
Passo 3
Agora que sabemos que
, podemos determinar várias características:
- Vértice (
): É o ponto . - Foco: Como
e a parábola abre para a esquerda (porque é negativo), o foco estará a 2 unidades à esquerda do vértice. Então, o foco é .
Passo 4
Vamos encontrar a diretriz e o eixo focal:
-
Eixo Focal: É a linha que passa pelo vértice e pelo foco. Como a parábola abre para a esquerda, o eixo é horizontal e tem a mesma coordenada
do vértice e do foco. Então, a equação do eixo focal é . -
Diretriz: É uma linha paralela ao eixo focal, mas do lado oposto do vértice em relação ao foco, a uma distância
. Como , a diretriz estará 2 unidades à direita do vértice. Então, a equação da diretriz é:
Passo 5
Agora, vamos calcular o comprimento do Latus Rectum. O Latus Rectum é a linha perpendicular ao eixo focal que passa pelo foco e tem comprimento
.
Então, o comprimento do Latus Rectum é 8 unidades.
Passo 6
Por fim, vamos fazer um esboço da parábola:
- Marcamos o vértice em
. - Colocamos o foco em
. - Desenhamos a diretriz vertical em
. - O eixo focal é a linha horizontal
. - Desenhamos a parábola abrindo para a esquerda, passando pelo foco e garantindo que o Latus Rectum tenha comprimento 8.
Resposta
As características da parábola
são:
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
- Eixo Focal:
- Comprimento do Latus Rectum: 8 unidades
E o esboço da parábola abre para a esquerda com essas características.
Exercícios relacionados
Dados os vetores
e
, determine
Calcular a área do triângulo de vértices:
(a) e
(b) e
© e
(d) e
(a)
(b)
©
(d)
A medida angular entre os vetores
e
é
, e suas normas são, respectivamente, 1 e 2 . Sendo
e
, calcule a norma de
.
Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
c)
c)