Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
d)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a parábola dada pela equação . O conteúdo que vamos usar aqui é sobre parábolas no plano cartesiano. Precisamos identificar o vértice, o foco, a diretriz, o eixo focal, o comprimento do Latus Rectum e fazer um esboço da parábola. Para isso, vamos usar a forma padrão da equação da parábola e lembrar alguns conceitos básicos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a forma padrão da equação de uma parábola. A equação geral é:
Aqui, é o vértice da parábola e é a distância do vértice ao foco. Se é positivo, a parábola abre para a direita; se for negativo, abre para a esquerda.
Na nossa equação , podemos comparar com a forma padrão e ver que:

Passo 3

Agora que sabemos que , podemos determinar várias características:
  1. Vértice ( ): É o ponto .
  2. Foco: Como e a parábola abre para a esquerda (porque é negativo), o foco estará a 2 unidades à esquerda do vértice. Então, o foco é .

Passo 4

Vamos encontrar a diretriz e o eixo focal:
  1. Eixo Focal: É a linha que passa pelo vértice e pelo foco. Como a parábola abre para a esquerda, o eixo é horizontal e tem a mesma coordenada do vértice e do foco. Então, a equação do eixo focal é .
  2. Diretriz: É uma linha paralela ao eixo focal, mas do lado oposto do vértice em relação ao foco, a uma distância . Como , a diretriz estará 2 unidades à direita do vértice. Então, a equação da diretriz é:

Passo 5

Agora, vamos calcular o comprimento do Latus Rectum. O Latus Rectum é a linha perpendicular ao eixo focal que passa pelo foco e tem comprimento .
Então, o comprimento do Latus Rectum é 8 unidades.

Passo 6

Por fim, vamos fazer um esboço da parábola:
  1. Marcamos o vértice em .
  2. Colocamos o foco em .
  3. Desenhamos a diretriz vertical em .
  4. O eixo focal é a linha horizontal .
  5. Desenhamos a parábola abrindo para a esquerda, passando pelo foco e garantindo que o Latus Rectum tenha comprimento 8.

Resposta

As características da parábola são:
  1. Vértice:
  2. Foco:
  3. Diretriz:
  4. Eixo Focal:
  5. Comprimento do Latus Rectum: 8 unidades
E o esboço da parábola abre para a esquerda com essas características.

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Dados os vetores e , determine
Calcular a área do triângulo de vértices:
(a) e
(b) e
© e
(d) e
A medida angular entre os vetores e é , e suas normas são, respectivamente, 1 e 2 . Sendo e , calcule a norma de .
Questão 2. Reduza a equação dada à forma padrão e determine se ela representa ou não uma circunferência. Se representar, informe seu centro e seu raio.
c)