Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
a) 4 y^2-48 x-20 y-71=0

Passo 1

Beleza! Vamos resolver a questão que pede para analisar a parábola definida pela equação . O conteúdo envolve propriedades das parábolas, como vértice, foco, diretriz, eixo focal e latus rectum. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola.

Passo 2

Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão. Começamos agrupando os termos em 4y^2 - 20y - 48x - 71 = 0:

Passo 3

Agora, vamos completar o quadrado para os termos de 4(y^2 - 5y) - 48x - 71 = 0. Fatoramos o coeficiente de 4(y^2 - 5y + 254) - 48x - 71 - 25 = 0:
4(y - 52)^2 - 48x - 96 = 0
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos :
Simplificando:

Passo 4

Isolamos os termos para deixar a equação na forma padrão da parábola horizontal 4(y - 52)^2 = 48x + 96:
(y - 52)^2 = 12(x + 2)
Dividindo ambos os lados por 4:

Passo 5

Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar os parâmetros da parábola:

Passo 6

Com esses valores, determinamos:
  • Vértice:
  • Foco: Como e a parábola abre para a direita, o foco está a 3 unidades à direita do vértice:
  • Diretriz: É a linha vertical oposta ao foco, a unidades à esquerda do vértice:
  • Eixo focal: É a reta horizontal que passa pelo vértice e foco:

Passo 7

O comprimento do Latus Rectum é dado por .

Resposta

(i) Vértice: e Foco:
(ii) Diretriz: e Eixo focal:
(iii) Comprimento do Latus Rectum: 12 unidades
(iv) Esboço da cônica: A parábola abre para a direita, com vértice em , foco em , diretriz em e eixo de simetria em .

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