Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
a)
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a questão que pede para analisar a parábola definida pela equação
. O conteúdo envolve propriedades das parábolas, como vértice, foco, diretriz, eixo focal e latus rectum. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão. Começamos agrupando os termos em
:
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
. Fatoramos o coeficiente de
:
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos
:
Simplificando:
Passo 4
Isolamos os termos para deixar a equação na forma padrão da parábola horizontal
:
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 5
Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar os parâmetros da parábola:
Passo 6
Com esses valores, determinamos:
- Vértice:
- Foco: Como
e a parábola abre para a direita, o foco está a 3 unidades à direita do vértice: - Diretriz: É a linha vertical oposta ao foco, a
unidades à esquerda do vértice: - Eixo focal: É a reta horizontal que passa pelo vértice e foco:
Passo 7
O comprimento do Latus Rectum é dado por
.
Resposta
(i) Vértice:
e Foco:
(ii) Diretriz:
e Eixo focal:
(iii) Comprimento do Latus Rectum: 12 unidades
(iv) Esboço da cônica: A parábola abre para a direita, com vértice em
, foco em
, diretriz em
e eixo de simetria em
.