Questão 5. Para cada uma das parábolas apresentadas, determine os seguintes itens:
(i) as coordenadas do vértice e do foco;
(ii) as equações da diretriz e do eixo focal;
(iii) o comprimento do Latus Rectum;
(iv) um esboço da cônica.
a)
Passo 1
Beleza! Vamos resolver a questão que pede para analisar a parábola definida pela equação . O conteúdo envolve propriedades das parábolas, como vértice, foco, diretriz, eixo focal e latus rectum. Para isso, vamos precisar reorganizar a equação para a forma padrão da parábola.
Passo 2
Primeiro, vamos colocar a equação na forma padrão. Começamos agrupando os termos em :
Passo 3
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de . Fatoramos o coeficiente de :
Para completar o quadrado dentro dos parênteses, adicionamos e subtraímos :
Simplificando:
Passo 4
Isolamos os termos para deixar a equação na forma padrão da parábola horizontal :
Dividindo ambos os lados por 4:
Passo 5
Agora que temos a equação na forma padrão, podemos identificar os parâmetros da parábola:
Passo 6
Com esses valores, determinamos:
Vértice:
Foco: Como e a parábola abre para a direita, o foco está a 3 unidades à direita do vértice:
Diretriz: É a linha vertical oposta ao foco, a unidades à esquerda do vértice:
Eixo focal: É a reta horizontal que passa pelo vértice e foco:
Passo 7
O comprimento do Latus Rectum é dado por .
Resposta
(i) Vértice: e Foco:
(ii) Diretriz: e Eixo focal:
(iii) Comprimento do Latus Rectum: 12 unidades
(iv) Esboço da cônica: A parábola abre para a direita, com vértice em , foco em , diretriz em e eixo de simetria em .