Use os testes de comparação e determine se a série converge ou diverge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma série infinita para analisar:
. Nosso objetivo é descobrir se essa série converge ou diverge usando os testes de comparação. Para isso, vamos precisar entender como comparar essa série com outra que já sabemos se converge ou diverge.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada nos termos da série:
. Sabemos que
é a função arco-tangente, que cresce até
quando
aumenta. Então, para facilitar, podemos estimar
para todo
.
Passo 3
Agora, vamos simplificar a expressão da série usando essa estimativa. Se
, então:
Assim, podemos comparar nossa série original com a série
.
Passo 4
Agora, precisamos lembrar que a série
é uma série p que converge quando
. No nosso caso,
, que é maior que 1. Portanto, a série
converge.
Passo 5
Como vimos que
e a série
converge, pelo teste de comparação, podemos concluir que a série original também converge.
Resposta
A série
converge.