Calcular os autovalores e autovetores associados às seguintes matrizes.
a) .
b) .
c) .
d) .

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular os autovalores e autovetores da matriz . Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios). Para resolver, vamos precisar usar o determinante e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação det( ) = 0, onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Expandindo a expressão:
Então:

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para achar os autovalores:

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:

Passo 8

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 9

Primeiro, para :
Simplificando as equações:
Então, o autovetor pode ser (qualquer múltiplo desse vetor também serve).

Passo 10

Agora, para :
Simplificando as equações:
Então, o autovetor pode ser (novamente, qualquer múltiplo serve).

Resposta

Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são para e para .

Exercícios relacionados

Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
Seja a matriz e o operador linear no definido por . Determinar a matriz de em cada uma das seguintes bases:
a)
b) .
Dados os vetores e , calcule:
Dados os vetores e , calcule: