Calcular os autovalores e autovetores associados às seguintes matrizes.
a) A=[cc1 & 3 -1 & 5].
b) A=[ccc1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2].
c) A=[ccc1 & 0 & 0 1 & 1 & -2 0 & 1 & -1].
d) A=[ccc0 & 0 & 2 0 & -1 & 0 2 & 0 & 0].

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício de calcular os autovalores e autovetores da matriz 1 & 3 -1 & 5 . Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios). Para resolver, vamos precisar usar o determinante e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação det( ) = 0, onde é a matriz identidade.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 3 -1 & 5 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(5 - lambda) - (3)(-1)
= (1 - lambda)(5 - lambda) + 3

Passo 5

Expandindo a expressão:
(1 - lambda)(5 - lambda) = 5 - lambda - 5lambda + lambda^2 = lambda^2 - 6lambda + 5
Então:
lambda^2 - 6lambda + 5 + 3 = lambda^2 - 6lambda + 8

Passo 6

Agora, igualamos o determinante a zero para achar os autovalores:
lambda^2 - 6lambda + 8 = 0

Passo 7

Resolvendo a equação quadrática:
lambda = 6 pm raiz(-6)^2 - 4 cdot 1 cdot 82 cdot 1 = 6 pm raiz36 - 322 = 6 pm raiz42
lambda = 6 pm 22 Rightarrow lambda1 = 4 e lambda2 = 2

Passo 8

Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 9

Primeiro, para A - 4I = 1-4 & 3 -1 & 5-4 = -3 & 3 -1 & 1 :
-3v1 + 3v2 = 0 Rightarrow v1 = v2
Simplificando as equações:
1 1
Então, o autovetor pode ser (qualquer múltiplo desse vetor também serve).

Passo 10

Agora, para A - 2I = 1-2 & 3 -1 & 5-2 = -1 & 3 -1 & 3 :
- v1 + 3v2 = 0 Rightarrow v1 = 3v2
Simplificando as equações:
3 1
Então, o autovetor pode ser (novamente, qualquer múltiplo serve).

Resposta

Os autovalores da matriz 1 1 são 3 1 e . Os autovetores correspondentes são para e para .

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