Calcular os autovalores e autovetores associados às seguintes matrizes.
a) .
b) .
c) .
d) .
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício de calcular os autovalores e autovetores da matriz . Isso pertence ao conteúdo de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores (valores próprios) e autovetores (vetores próprios). Para resolver, vamos precisar usar o determinante e resolver uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores que satisfazem a equação det() = 0, onde é a matriz identidade.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Expandindo a expressão:
Então:
Passo 6
Agora, igualamos o determinante a zero para achar os autovalores:
Passo 7
Resolvendo a equação quadrática:
Passo 8
Agora que temos os autovalores e , vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para isso, resolvemos , onde é o autovetor.
Passo 9
Primeiro, para :
Simplificando as equações:
Então, o autovetor pode ser (qualquer múltiplo desse vetor também serve).
Passo 10
Agora, para :
Simplificando as equações:
Então, o autovetor pode ser (novamente, qualquer múltiplo serve).
Resposta
Os autovalores da matriz são e . Os autovetores correspondentes são para e para .