Seja a matriz e o operador linear no definido por . Determinar a matriz de em cada uma das seguintes bases:
a)
b) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e um operador linear que transforma vetores no usando essa matriz, ou seja, . A tarefa aqui é descobrir como fica a matriz de em duas bases diferentes:
a) A base padrão .
b) A base .
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a), que é a base padrão. A base padrão é aquela que a gente normalmente usa, onde cada vetor tem um 1 em uma posição e 0 na outra, tipo os eixos x e y.
Passo 3
Quando a gente quer a matriz de um operador linear na base padrão, na real, essa matriz já é a própria matriz do operador. Ou seja, se é a matriz que define o operador na base padrão, então a matriz de na base padrão é exatamente mesmo.
Passo 4
Então, para a parte a), a matriz de na base é simplesmente:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), onde a base é . Aqui, a gente precisa encontrar a matriz de nessa nova base. Para isso, vamos usar uma coisa chamada mudança de base.
Passo 6
Primeiro, vamos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz tem como colunas os vetores da nova base. Então, nossos vetores são e , então:
Passo 7
Agora, precisamos achar a matriz inversa de , que vamos chamar de . A inversa de uma matriz é dada por:
Onde são os elementos da matriz .
Passo 8
Calculando o determinante de :
Então,
Passo 9
Agora, a fórmula para mudar a matriz do operador para a nova base é: