Seja a matriz e o operador linear no definido por . Determinar a matriz de em cada uma das seguintes bases:
a)
b) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz e um operador linear que transforma vetores no usando essa matriz, ou seja, . A tarefa aqui é descobrir como fica a matriz de em duas bases diferentes:
a) A base padrão .
b) A base .

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a), que é a base padrão. A base padrão é aquela que a gente normalmente usa, onde cada vetor tem um 1 em uma posição e 0 na outra, tipo os eixos x e y.

Passo 3

Quando a gente quer a matriz de um operador linear na base padrão, na real, essa matriz já é a própria matriz do operador. Ou seja, se é a matriz que define o operador na base padrão, então a matriz de na base padrão é exatamente mesmo.

Passo 4

Então, para a parte a), a matriz de na base é simplesmente:

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), onde a base é . Aqui, a gente precisa encontrar a matriz de nessa nova base. Para isso, vamos usar uma coisa chamada mudança de base.

Passo 6

Primeiro, vamos montar a matriz de mudança de base . Essa matriz tem como colunas os vetores da nova base. Então, nossos vetores são e , então:

Passo 7

Agora, precisamos achar a matriz inversa de , que vamos chamar de . A inversa de uma matriz é dada por:
Onde são os elementos da matriz .

Passo 8

Calculando o determinante de :
Então,

Passo 9

Agora, a fórmula para mudar a matriz do operador para a nova base é:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 10

Primeiro, multiplicamos por :

Passo 11

Agora, multiplicamos pelo resultado acima:

Resposta

a) A matriz de na base é:
b) A matriz de na base é:

Exercícios relacionados

Dada a transformação linear tal que
a) determinar a matriz canônica de ;
b) calcular ;
c) calcular .
Determinar os autovalores e autovetores associados às seguintes transformações lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
Calcular os autovalores e autovetores associados às seguintes matrizes.
a) .
b) .
c) .
d) .