Seja a matriz A=[cc3 & 1 -1 & 0] e T o operador linear no R^2 definido por T(v)=A v. Determinar a matriz de T em cada uma das seguintes bases:
a) (1,0),(0,1)
b) (1,2),(1,3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz A = 3 & 1 -1 & 0 e um operador linear T que transforma vetores no R^2 usando essa matriz, ou seja, T(v) = A v. A tarefa aqui é descobrir como fica a matriz de T em duas bases diferentes:
a) A base padrão (1,0),(0,1).
b) A base (1,2),(1,3).

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte a), que é a base padrão. A base padrão é aquela que a gente normalmente usa, onde cada vetor tem um 1 em uma posição e 0 na outra, tipo os eixos x e y.

Passo 3

Quando a gente quer a matriz de um operador linear na base padrão, na real, essa matriz já é a própria matriz do operador. Ou seja, se A é a matriz que define o operador T na base padrão, então a matriz de T na base padrão é exatamente A mesmo.

Passo 4

Então, para a parte a), a matriz de T na base (1,0),(0,1) é simplesmente:
3 & 1 -1 & 0

Passo 5

Agora, vamos para a parte b), onde a base é (1,2),(1,3). Aqui, a gente precisa encontrar a matriz de T nessa nova base. Para isso, vamos usar uma coisa chamada mudança de base.

Passo 6

Primeiro, vamos montar a matriz de mudança de base P. Essa matriz P tem como colunas os vetores da nova base. Então, nossos vetores são (1,2) e (1,3), então:
P = 1 & 1 2 & 3

Passo 7

Agora, precisamos achar a matriz inversa de P, que vamos chamar de P^-1. A inversa de uma matriz 2 times 2 é dada por:
P^-1 = 1det(P) d & -b -c & a
Onde a, b, c, d são os elementos da matriz P.

Passo 8

Calculando o determinante de P:
det(P) = (1)(3) - (1)(2) = 3 - 2 = 1
Então,
P^-1 = 3 & -1 -2 & 1

Passo 9

Agora, a fórmula para mudar a matriz do operador T para a nova base é:
A' = P^-1 A P
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.

Passo 10

Primeiro, multiplicamos A por P:
A P = 3 & 1 -1 & 0 1 & 1 2 & 3 = 3*1 + 1*2 & 3*1 + 1*3 -1*1 + 0*2 & -1*1 + 0*3 = 5 & 6 -1 & -1

Passo 11

Agora, multiplicamos P^-1 pelo resultado acima:
A' = P^-1 (A P) = 3 & -1 -2 & 1 5 & 6 -1 & -1 = 3*5 + (-1)*(-1) & 3*6 + (-1)*(-1) -2*5 + 1*(-1) & -2*6 + 1*(-1) = 15 + 1 & 18 + 1 -10 -1 & -12 -1 = 16 & 19 -11 & -13

Resposta

a) A matriz de T na base (1,0),(0,1) é:
3 & 1 -1 & 0
b) A matriz de T na base (1,2),(1,3) é:
16 & 19 -11 & -13

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