Seja a matriz
e
o operador linear no
definido por
. Determinar a matriz de
em cada uma das seguintes bases:
a)
b)
.
a)
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma matriz
e um operador linear
que transforma vetores no
usando essa matriz, ou seja,
. A tarefa aqui é descobrir como fica a matriz de
em duas bases diferentes:
a) A base padrão .
b) A base .
a) A base padrão
b) A base
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte a), que é a base padrão. A base padrão é aquela que a gente normalmente usa, onde cada vetor tem um 1 em uma posição e 0 na outra, tipo os eixos x e y.
Passo 3
Quando a gente quer a matriz de um operador linear na base padrão, na real, essa matriz já é a própria matriz do operador. Ou seja, se
é a matriz que define o operador
na base padrão, então a matriz de
na base padrão é exatamente
mesmo.
Passo 4
Então, para a parte a), a matriz de
na base
é simplesmente:
Passo 5
Agora, vamos para a parte b), onde a base é
. Aqui, a gente precisa encontrar a matriz de
nessa nova base. Para isso, vamos usar uma coisa chamada mudança de base.
Passo 6
Primeiro, vamos montar a matriz de mudança de base
. Essa matriz
tem como colunas os vetores da nova base. Então, nossos vetores são
e
, então:
Passo 7
Agora, precisamos achar a matriz inversa de
, que vamos chamar de
. A inversa de uma matriz
é dada por:
Onde
são os elementos da matriz
.
Passo 8
Calculando o determinante de
:
Então,
Passo 9
Agora, a fórmula para mudar a matriz do operador
para a nova base é:
Vamos fazer essa multiplicação passo a passo.
Passo 10
Primeiro, multiplicamos
por
:
Passo 11
Agora, multiplicamos
pelo resultado acima:
Resposta
a) A matriz de
na base
é:
b) A matriz de
na base
é: