Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais das funções listadas são transformações lineares. Transformação linear é um conceito da Álgebra Linear onde, basicamente, a função precisa respeitar duas regras importantes:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Vamos precisar verificar essas propriedades para cada função dada. Se a função passar nessas duas regras, ela é linear. Vamos na resolução!

Passo 2

a) .
Essa função é uma combinação linear das variáveis x e y. Não há termos constantes adicionados.
Verificação:
  • Adição: Se somarmos dois vetores (x₁, y₁) + (x₂, y₂), a função vai somar as componentes correspondentes:
  • Escalar: Multiplicando por um escalar c:
Conclusão: A função a) é linear.

Passo 3

b) .
Aqui temos um termo constante “+1” na primeira componente.
Verificação:
  • A presença de um termo constante já quebra a linearidade, porque: Uma transformação linear sempre deve enviar o vetor zero no espaço de partida para o vetor zero no espaço de chegada.
Conclusão: A função b) não é linear.

Passo 4

c) .
Aqui temos o valor absoluto de x na primeira componente.
Verificação:
  • O valor absoluto não é uma operação linear porque não preserva a adição nem a multiplicação por escalar negativo. Por exemplo:
Conclusão: A função c) não é linear.

Passo 5

d) .
Essa função mapeia de 2 dimensões para 3 dimensões e não apresenta termos constantes.
Verificação:
  • Adição e Escalar: Como a função é uma combinação linear das variáveis sem termos constantes, vamos verificar rapidamente: E para adição:
Conclusão: A função d) é linear.

Passo 6

e) .
Aqui temos um termo constante “2” na segunda componente.
Verificação:
  • A presença do número 2 que não depende de x quebra a linearidade. Por exemplo:
Conclusão: A função e) não é linear.

Passo 7

f) .
Essa função pega a primeira componente do vetor.
Verificação:
  • Adição e Escalar:
Conclusão: A função f) é linear.

Passo 8

g) .
Essa função mapeia para matrizes 2x2 sem termos constantes.
Verificação:
  • Adição:
  • Escalar:
Conclusão: A função g) é linear.

Resposta

As funções que são transformações lineares são:
  • a)
  • d)
  • f)
  • g)

Exercícios relacionados

Seja a matriz e o operador linear no definido por . Determinar a matriz de em cada uma das seguintes bases:
a)
b) .
Dada a transformação linear tal que
a) determinar a matriz canônica de ;
b) calcular ;
c) calcular .
Calcular os autovalores e autovetores associados às seguintes matrizes.
a) .
b) .
c) .
d) .
Dados os vetores e , calcule: