Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
a) T: R^2 R^2, T(x, y)=(2 x-y, 3 x+5 y).
b) T: R^2 R^2, T(x, y)=(x+1, y).
c) T: R^2 R^2, T(x, y)=(|x|, 2 x).
d) T: R^2 R^3, T(x, y)=(3 y,-2 x, 0).
e) T: R R^2, T(x)=(x, 2).
f) T: R^2 R, T(x, y)=x.
g) T: R^2 M(2,2), T(x, y)=[cc2 y & 3 x -y & x+2 y].

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais das funções listadas são transformações lineares. Transformação linear é um conceito da Álgebra Linear onde, basicamente, a função precisa respeitar duas regras importantes:
  1. Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
  2. Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Vamos precisar verificar essas propriedades para cada função dada. Se a função passar nessas duas regras, ela é linear. Vamos na resolução!

Passo 2

a) T(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = (2(x₁ + x₂) - (y₁ + y₂), 3(x₁ + x₂) + 5(y₁ + y₂)) = T(x₁, y₁) + T(x₂, y₂) .
Essa função é uma combinação linear das variáveis x e y. Não há termos constantes adicionados.
Verificação:
  • Adição: Se somarmos dois vetores (x₁, y₁) + (x₂, y₂), a função vai somar as componentes correspondentes: T(c x, c y) = (2(c x) - c y, 3(c x) + 5(c y)) = c(2x - y, 3x + 5y) = cT(x, y)
  • Escalar: Multiplicando por um escalar c:
Conclusão: A função a) é linear.

Passo 3

b) T(0, 0) = (0 + 1, 0) = (1, 0) neq (0, 0) .
Aqui temos um termo constante “+1” na primeira componente.
Verificação:
  • A presença de um termo constante já quebra a linearidade, porque: Uma transformação linear sempre deve enviar o vetor zero no espaço de partida para o vetor zero no espaço de chegada.
Conclusão: A função b) não é linear.

Passo 4

c) T(-x, y) = (|-x|, 2(-x)) = (x, -2x) neq (-|x|, -2x) = -T(x, y) .
Aqui temos o valor absoluto de x na primeira componente.
Verificação:
  • O valor absoluto não é uma operação linear porque não preserva a adição nem a multiplicação por escalar negativo. Por exemplo:
Conclusão: A função c) não é linear.

Passo 5

d) T(c x, c y) = (3(c y), -2(c x), 0) = c(3y, -2x, 0) = cT(x, y) .
Essa função mapeia de 2 dimensões para 3 dimensões e não apresenta termos constantes.
Verificação:
  • Adição e Escalar: Como a função é uma combinação linear das variáveis sem termos constantes, vamos verificar rapidamente: T(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = (3(y₁ + y₂), -2(x₁ + x₂), 0) = (3y₁, -2x₁, 0) + (3y₂, -2x₂, 0) = T(x₁, y₁) + T(x₂, y₂) E para adição:
Conclusão: A função d) é linear.

Passo 6

e) T(0) = (0, 2) neq (0, 0) .
Aqui temos um termo constante “2” na segunda componente.
Verificação:
  • A presença do número 2 que não depende de x quebra a linearidade. Por exemplo:
Conclusão: A função e) não é linear.

Passo 7

f) T(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = x₁ + x₂ = T(x₁, y₁) + T(x₂, y₂) .
Essa função pega a primeira componente do vetor.
Verificação:
  • Adição e Escalar: T(c x, c y) = c x = c T(x, y)
Conclusão: A função f) é linear.

Passo 8

g) cc2y & 3x -y & x + 2y.
Essa função mapeia para matrizes 2x2 sem termos constantes.
Verificação:
  • Adição: T(x₁ + x₂, y₁ + y₂) = [cc2(y₁ + y₂) & 3(x₁ + x₂) -(y₁ + y₂) & (x₁ + x₂) + 2(y₁ + y₂)] = T(x₁, y₁) + T(x₂, y₂)
  • Escalar: T(c x, c y) = [cc2(c y) & 3(c x) -c y & c x + 2(c y)] = c [cc2y & 3x -y & x + 2y] = c T(x, y)
Conclusão: A função g) é linear.

Resposta

As funções que são transformações lineares são:
  • a)
  • d)
  • f)
  • g)

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