Dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares.
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
f) .
g) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar quais das funções listadas são transformações lineares. Transformação linear é um conceito da Álgebra Linear onde, basicamente, a função precisa respeitar duas regras importantes:
Adição: T(u + v) = T(u) + T(v)
Multiplicação por escalar: T(cu) = cT(u)
Vamos precisar verificar essas propriedades para cada função dada. Se a função passar nessas duas regras, ela é linear. Vamos na resolução!
Passo 2
a) .
Essa função é uma combinação linear das variáveis x e y. Não há termos constantes adicionados.
Verificação:
Adição: Se somarmos dois vetores (x₁, y₁) + (x₂, y₂), a função vai somar as componentes correspondentes:
Escalar: Multiplicando por um escalar c:
Conclusão: A função a) é linear.
Passo 3
b) .
Aqui temos um termo constante “+1” na primeira componente.
Verificação:
A presença de um termo constante já quebra a linearidade, porque:Uma transformação linear sempre deve enviar o vetor zero no espaço de partida para o vetor zero no espaço de chegada.
Conclusão: A função b)não é linear.
Passo 4
c) .
Aqui temos o valor absoluto de x na primeira componente.
Verificação:
O valor absoluto não é uma operação linear porque não preserva a adição nem a multiplicação por escalar negativo. Por exemplo:
Conclusão: A função c)não é linear.
Passo 5
d) .
Essa função mapeia de 2 dimensões para 3 dimensões e não apresenta termos constantes.
Verificação:
Adição e Escalar: Como a função é uma combinação linear das variáveis sem termos constantes, vamos verificar rapidamente:E para adição:
Conclusão: A função d) é linear.
Passo 6
e) .
Aqui temos um termo constante “2” na segunda componente.
Verificação:
A presença do número 2 que não depende de x quebra a linearidade. Por exemplo:
Conclusão: A função e)não é linear.
Passo 7
f) .
Essa função pega a primeira componente do vetor.
Verificação:
Adição e Escalar:
Conclusão: A função f) é linear.
Passo 8
g) .
Essa função mapeia para matrizes 2x2 sem termos constantes.