Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
a)
b)
c)

Passo 1

Então, a gente tem que calcular os autovalores e os autovetores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o determinante e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar a matriz :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:
Então:

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores.

Passo 7

Podemos fatorar a equação:
Então, os autovalores são e .

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 9

Primeiro, para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar para .

Passo 10

Escolhemos (pode ser qualquer número, já que os autovetores são definidos até uma constante). Então, . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Passo 11

Agora, para :
O sistema de equações fica:
Simplificando, temos .

Passo 12

Escolhemos . Então, . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são:
  • Autovalor
  • Autovalor

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Seja a transformação linear definida por .
a) Calcule os autovalores e os auto espagos de .
b) Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nessa base?
Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores
a) e
b) e
c) e .
Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha:
a) sentido contrário ao de e três vezes o módulo de ;
b) o mesmo sentido de e módulo 4
c) sentido contrário ao de e módulo 5 .
Dados os vetores e , calcular:
a)
b)