Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
a) [cc1 & 3 -1 & 5]
b) [ccc1 & -1 & 0 2 & 3 & 2 1 & 1 & 2]
c) [lll3 & 2 & 1 1 & 4 & 1 1 & 2 & 3]

Passo 1

Então, a gente tem que calcular os autovalores e os autovetores da matriz cc1 & 3 -1 & 5. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o determinante e resolver uma equação característica.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.

Passo 3

Vamos montar a matriz A - lambda I = 1 - lambda & 3 -1 & 5 - lambda :

Passo 4

Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
det(A - lambda I) = (1 - lambda)(5 - lambda) - (3)(-1) = (1 - lambda)(5 - lambda) + 3

Passo 5

Vamos expandir e simplificar a expressão:
(1 - lambda)(5 - lambda) = 5 - lambda - 5lambda + lambda^2 = lambda^2 - 6lambda + 5
Então:
det(A - lambda I) = lambda^2 - 6lambda + 5 + 3 = lambda^2 - 6lambda + 8

Passo 6

Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores.

Passo 7

Podemos fatorar a equação:
lambda^2 - 6lambda + 8 = (lambda - 2)(lambda - 4) = 0
Então, os autovalores são e .

Passo 8

Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.

Passo 9

Primeiro, para A - 2I = 1 - 2 & 3 -1 & 5 - 2 = -1 & 3 -1 & 3 :
-1v1 + 3v2 = 0 -1v1 + 3v2 = 0
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar para .

Passo 10

Escolhemos v1 = 3 1 (pode ser qualquer número, já que os autovetores são definidos até uma constante). Então, . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Passo 11

Agora, para A - 4I = 1 - 4 & 3 -1 & 5 - 4 = -3 & 3 -1 & 1 :
-3v1 + 3v2 = 0 -1v1 + v2 = 0
O sistema de equações fica:
Simplificando, temos .

Passo 12

Escolhemos v2 = 1 1 . Então, . Portanto, um autovetor correspondente a é:

Resposta

Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz cc1 & 3 -1 & 5 são:
  • Autovalor v1 = 3 1
    v2 = 1 1
  • Autovalor

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