Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
a)
b)
c)
Passo 1
Então, a gente tem que calcular os autovalores e os autovetores da matriz . Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, especificamente sobre autovalores e autovetores. Para resolver isso, vamos precisar usar o determinante e resolver uma equação característica.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores. Os autovalores são os valores de que satisfazem a equação , onde é a matriz dada e é a matriz identidade do mesmo tamanho.
Passo 3
Vamos montar a matriz :
Passo 4
Agora, calculamos o determinante dessa matriz:
Passo 5
Vamos expandir e simplificar a expressão:
Então:
Passo 6
Agora, resolvemos a equação quadrática para encontrar os autovalores.
Passo 7
Podemos fatorar a equação:
Então, os autovalores são e .
Passo 8
Agora que temos os autovalores, vamos encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor. Para cada , resolvemos , onde é o autovetor.
Passo 9
Primeiro, para :
Isso nos dá o sistema de equações:
Podemos simplificar para .
Passo 10
Escolhemos (pode ser qualquer número, já que os autovetores são definidos até uma constante). Então, . Portanto, um autovetor correspondente a é:
Passo 11
Agora, para :
O sistema de equações fica:
Simplificando, temos .
Passo 12
Escolhemos . Então, . Portanto, um autovetor correspondente a é:
Resposta
Os autovalores e seus respectivos autovetores da matriz são: