Dados os vetores u=(2,-3,-1) e v=(1,-1,4), calcular:
a) 2 u cdot(-v)
b) (u+v) cdot(u-v)

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u = (2, -3, -1) e v = (1, -1, 4). A parte a) nos pede para calcular 2 u cdot (-v). Aqui, estamos lidando com o produto escalar (ou produto ponto) entre vetores, que é uma operação fundamental em álgebra vetorial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa multiplicar um vetor por um escalar. Quando multiplicamos um vetor por um número (escalar), cada componente do vetor é multiplicada por esse número. Então, -v significa que vamos multiplicar cada componente de v por -1:
-v = (-1) times (1, -1, 4) = (-1, 1, -4)

Passo 3

Agora, vamos multiplicar o vetor u por 2:
2 u = 2 times (2, -3, -1) = (4, -6, -2)

Passo 4

Com os vetores escalados, podemos calcular o produto escalar. O produto escalar de dois vetores a = (a1, a2, a3) e b = (b1, b2, b3) é dado por:
a cdot b = a1b1 + a2b2 + a3b3
Aplicando isso aos nossos vetores:
2 u cdot (-v) = (4) times (-1) + (-6) times 1 + (-2) times (-4)

Passo 5

Vamos calcular cada termo individualmente:
4 times (-1) = -4 -6 times 1 = -6 -2 times (-4) = 8

Passo 6

Somando esses resultados:
-4 + (-6) + 8 = -10 + 8 = -2

Passo 7

Agora, vamos para a parte b) da questão: calcular (u + v) cdot (u - v). Novamente, estamos lidando com o produto escalar, mas dessa vez entre a soma e a diferença dos vetores u e v.

Passo 8

Primeiro, vamos calcular a soma u + v:
u + v = (2 + 1, -3 + (-1), -1 + 4) = (3, -4, 3)

Passo 9

Em seguida, vamos calcular a diferença u - v:
u - v = (2 - 1, -3 - (-1), -1 - 4) = (1, -2, -5)

Passo 10

Agora, vamos calcular o produto escalar entre esses dois vetores resultantes:
(u + v) cdot (u - v) = (3) times (1) + (-4) times (-2) + (3) times (-5)

Passo 11

Calculando cada termo individualmente:
3 times 1 = 3 -4 times (-2) = 8 3 times (-5) = -15

Passo 12

Somando esses resultados:
3 + 8 + (-15) = 11 - 15 = -4

Resposta

(u + v) cdot (u - v) = -4

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