Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores
a) u=(2,1) e v=(4,-2)
b) u=(1,-1) e v=(-4,-2)
c) u=(1,1) e v=(-1,1).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar o ângulo entre pares de vetores. Isso envolve conceitos de álgebra vetorial, especificamente o produto escalar e as magnitudes dos vetores. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula do ângulo entre dois vetores usando o produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula que relaciona o ângulo entre dois vetores com o produto escalar e as magnitudes deles:
cos(theta) = u cdot v||u|| , ||v||
Aqui, u cdot v é o produto escalar dos vetores u e v, e ||u|| e ||v|| são as magnitudes (ou comprimentos) desses vetores. Depois de encontrar cos(theta), a gente usa a função arco cosseno para encontrar o ângulo theta.

Passo 3

Agora, vamos resolver cada parte do exercício:

a) u=(2,1) e v=(4,-2)

  1. Calculando o produto escalar:
    u cdot v = (2 times 4) + (1 times -2) = 8 - 2 = 6
  2. Calculando as magnitudes:
    ||u|| = raiz2^2 + 1^2 = raiz4 + 1 = raiz5
    ||v|| = raiz4^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5
  3. Substituindo na fórmula:
    cos(theta) = 6raiz5 times 2raiz5 = 610 = 0,6
    theta = arccos(0,6) approx 53,13^circ

b) u=(1,-1) e v=(-4,-2)

  1. Calculando o produto escalar:
    u cdot v = (1 times -4) + (-1 times -2) = -4 + 2 = -2
  2. Calculando as magnitudes:
    ||u|| = raiz1^2 + (-1)^2 = raiz1 + 1 = raiz2
    ||v|| = raiz(-4)^2 + (-2)^2 = raiz16 + 4 = raiz20 = 2raiz5
  3. Substituindo na fórmula:
    cos(theta) = -2raiz2 times 2raiz5 = -22raiz10 = -1raiz10 approx -0,3162
    theta = arccos(-0,3162) approx 108,43^circ

c) u=(1,1) e v=(-1,1)

  1. Calculando o produto escalar:
    u cdot v = (1 times -1) + (1 times 1) = -1 + 1 = 0
  2. Calculando as magnitudes:
    ||u|| = raiz1^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
    ||v|| = raiz(-1)^2 + 1^2 = raiz1 + 1 = raiz2
  3. Substituindo na fórmula:
    cos(theta) = 0raiz2 times raiz2 = 0
    theta = arccos(0) = 90^circ

Resposta

a) theta approx 53,13^circ
b) theta approx 108,43^circ
c) theta = 90^circ

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