Seja T: R^3 R^3 a transformação linear definida por T(x, y, z)=(y+ z, 2 y+z, y+2 z).
a) Calcule os autovalores e os auto espagos de T.
b) Determine uma base de R^3 constituída de autovetores de T. Qual a representação matricial de T nessa base?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão nos pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, precisamos determinar uma base composta por esses autovetores e descobrir como a matriz de fica nessa nova base. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matriz representativa de transformações lineares, determinantes e valores próprios (autovalores).

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear A = 0 & 1 & 1 0 & 2 & 1 0 & 1 & 2 como uma matriz. Observando a definição de , percebemos que a variável não aparece nas saídas, o que significa que a primeira coluna da matriz será toda de zeros. As colunas correspondentes a e serão os coeficientes dessas variáveis nas componentes de .
Então, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de det(A - lambda I) = 0 . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
A - lambda I = -lambda & 1 & 1 0 & 2 - lambda & 1 0 & 1 & 2 - lambda
Onde det(A - lambda I) = -lambda cdot ((2 - lambda)(2 - lambda) - 1 cdot 1) = -lambda (lambda^2 - 4lambda + 3) = -lambda (lambda - 1)(lambda - 3) é a matriz identidade e -lambda (lambda - 1)(lambda - 3) = 0 é o autovalor. Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são , e .

Passo 4

Vamos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para y + z = 0 2y + z = 0 y + 2z = 0 :
Resolvemos - x + y + z = 0 y + z = 0 y + z = 0 :
-3x + y + z = 0 - y + z = 0 y - z = 0
Da primeira equação, . Substituindo na segunda: => e, consequentemente, . O fica livre, então um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira: => . Então, os autovetores são da forma .
Para :
Resolvemos :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira: => . Assim, os autovetores são da forma .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos formar uma base de 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 composta por esses autovetores: .
Para encontrar a representação matricial de nessa nova base, lembramos que, quando usamos uma base de autovetores, a matriz representativa se torna diagonal, onde cada entrada na diagonal principal é o autovalor correspondente.
Então, a matriz representativa de nessa base é:

Resposta

a) Os autovalores de 0 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 0 & 3 são , e com respectivos autovetores , e .
b) Uma base de constituída por autovetores de é . A representação matricial de nessa base é a matriz diagonal:

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