Seja a transformação linear definida por .
a) Calcule os autovalores e os auto espagos de .
b) Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nessa base?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de transformações lineares! A questão nos pede para encontrar os autovalores e autovetores da transformação linear definida por . Além disso, precisamos determinar uma base composta por esses autovetores e descobrir como a matriz de fica nessa nova base. Para isso, vamos precisar usar conceitos de matriz representativa de transformações lineares, determinantes e valores próprios (autovalores).

Passo 2

Primeiro, vamos representar a transformação linear como uma matriz. Observando a definição de , percebemos que a variável não aparece nas saídas, o que significa que a primeira coluna da matriz será toda de zeros. As colunas correspondentes a e serão os coeficientes dessas variáveis nas componentes de .
Então, a matriz que representa é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autovalores de . Para isso, precisamos resolver a equação característica:
Onde é a matriz identidade e é o autovalor. Calculando :
O determinante dessa matriz é:
Igualando a zero:
Então, os autovalores são , e .

Passo 4

Vamos agora encontrar os autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para :
Resolvemos :
Da primeira equação, . Substituindo na segunda: => e, consequentemente, . O fica livre, então um autovetor é .
Para :
Resolvemos :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira: => . Então, os autovetores são da forma .
Para :
Resolvemos :
Da segunda equação, . Substituindo na primeira: => . Assim, os autovetores são da forma .

Passo 5

Agora que temos os autovalores e autovetores, podemos formar uma base de composta por esses autovetores: .
Para encontrar a representação matricial de nessa nova base, lembramos que, quando usamos uma base de autovetores, a matriz representativa se torna diagonal, onde cada entrada na diagonal principal é o autovalor correspondente.
Então, a matriz representativa de nessa base é:

Resposta

a) Os autovalores de são , e com respectivos autovetores , e .
b) Uma base de constituída por autovetores de é . A representação matricial de nessa base é a matriz diagonal:

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Determinar, aproximadamente, o ângulo entre os pares de vetores
a) e
b) e
c) e .
Determine uma base e a dimensão de , onde é definida por
Calcular os autovalores e os correspondentes autovetores das seguintes matrizes:
a)
b)
c)
Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha:
a) sentido contrário ao de e três vezes o módulo de ;
b) o mesmo sentido de e módulo 4
c) sentido contrário ao de e módulo 5 .