Dado o vetor v=(2,-1,-3), determinar o vetor paralelo a v que tenha:
a) sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v;
b) o mesmo sentido de v e módulo 4
c) sentido contrário ao de v e módulo 5 .

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos o vetor v = (2, -1, -3). O objetivo é encontrar um vetor paralelo a v que tenha sentido contrário ao de v e três vezes o módulo de v. Para isso, vamos precisar entender como manipular vetores para mudar seu sentido e escalar seu módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo de v. O módulo de um vetor v = (vx, vy, vz) é dado por:
|v| = raizvx^2 + vy^2 + vz^2
Aplicando isso ao nosso vetor:
|v| = raiz2^2 + (-1)^2 + (-3)^2 = raiz4 + 1 + 9 = raiz14

Passo 3

Como queremos um vetor com três vezes o módulo de v, calculamos:
3 times |v| = 3 times raiz14 = 3raiz14

Passo 4

Para mudar o sentido do vetor, multiplicamos o vetor original por -1. Portanto, o vetor paralelo desejado será:
u = -k times v
Onde k é a constante de escala que ajusta o módulo para 3raiz14. Calculamos k da seguinte forma:
k times |v| = 3raiz14 implies k = 3
Portanto:
u = -3 times v = -3 times (2, -1, -3) = (-6, 3, 9)

Passo 5

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. Queremos um vetor paralelo a v = (2, -1, -3) que tenha o mesmo sentido de v e módulo igual a 4. Precisamos escalar o vetor original de forma que seu módulo seja ajustado para 4 mantendo o mesmo sentido.

Passo 6

Já sabemos que o módulo de v é raiz14. Para obter um vetor com módulo 4, determinamos a constante de escala k:
k times |v| = 4 implies k = 4raiz14

Passo 7

Multiplicamos o vetor original por k:
u = k times v = 4raiz14 times (2, -1, -3) = (8raiz14, -4raiz14, -12raiz14)
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por raiz14:
u = (8raiz1414, -4raiz1414, -12raiz1414) = (4raiz147, -2raiz147, -6raiz147)

Passo 8

Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício. Buscamos um vetor paralelo a v = (2, -1, -3) que tenha sentido contrário e módulo igual a 5. Precisamos escalar o vetor original para ajustar seu módulo para 5 e inverter seu sentido.

Passo 9

O módulo de v é raiz14. Para obter um vetor com módulo 5 e sentido contrário, calculamos a constante de escala k:
k times |v| = 5 implies k = 5raiz14
Como queremos sentido contrário, multiplicamos por -1:
u = -k times v = -5raiz14 times (2, -1, -3) = (-10raiz14, 5raiz14, 15raiz14)
Racionalizando o denominador:
u = (-10raiz1414, 5raiz1414, 15raiz1414) = (-5raiz147, 5raiz1414, 15raiz1414)

Resposta

O vetor paralelo a v com sentido contrário e módulo 5 é u = (dfrac-5raiz147, dfrac5raiz1414, dfrac15raiz1414).

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