Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha:
a) sentido contrário ao de e três vezes o módulo de ;
b) o mesmo sentido de e módulo 4
c) sentido contrário ao de e módulo 5 .
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos o vetor . O objetivo é encontrar um vetor paralelo a que tenha sentido contrário ao de e três vezes o módulo de . Para isso, vamos precisar entender como manipular vetores para mudar seu sentido e escalar seu módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo de . O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 3
Como queremos um vetor com três vezes o módulo de , calculamos:
Passo 4
Para mudar o sentido do vetor, multiplicamos o vetor original por . Portanto, o vetor paralelo desejado será:
Onde é a constante de escala que ajusta o módulo para . Calculamos da seguinte forma:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. Queremos um vetor paralelo a que tenha o mesmo sentido de e módulo igual a 4. Precisamos escalar o vetor original de forma que seu módulo seja ajustado para 4 mantendo o mesmo sentido.
Passo 6
Já sabemos que o módulo de é . Para obter um vetor com módulo 4, determinamos a constante de escala :
Passo 7
Multiplicamos o vetor original por :
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :
Passo 8
Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício. Buscamos um vetor paralelo a que tenha sentido contrário e módulo igual a 5. Precisamos escalar o vetor original para ajustar seu módulo para 5 e inverter seu sentido.
Passo 9
O módulo de é . Para obter um vetor com módulo 5 e sentido contrário, calculamos a constante de escala :
Como queremos sentido contrário, multiplicamos por :
Racionalizando o denominador:
Resposta
O vetor paralelo a com sentido contrário e módulo 5 é .