Dado o vetor , determinar o vetor paralelo a que tenha:
a) sentido contrário ao de e três vezes o módulo de ;
b) o mesmo sentido de e módulo 4
c) sentido contrário ao de e módulo 5 .

Passo 1

Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos o vetor . O objetivo é encontrar um vetor paralelo a que tenha sentido contrário ao de e três vezes o módulo de . Para isso, vamos precisar entender como manipular vetores para mudar seu sentido e escalar seu módulo.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o módulo de . O módulo de um vetor é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor:

Passo 3

Como queremos um vetor com três vezes o módulo de , calculamos:

Passo 4

Para mudar o sentido do vetor, multiplicamos o vetor original por . Portanto, o vetor paralelo desejado será:
Onde é a constante de escala que ajusta o módulo para . Calculamos da seguinte forma:
Portanto:

Passo 5

Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. Queremos um vetor paralelo a que tenha o mesmo sentido de e módulo igual a 4. Precisamos escalar o vetor original de forma que seu módulo seja ajustado para 4 mantendo o mesmo sentido.

Passo 6

Já sabemos que o módulo de é . Para obter um vetor com módulo 4, determinamos a constante de escala :

Passo 7

Multiplicamos o vetor original por :
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por :

Passo 8

Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício. Buscamos um vetor paralelo a que tenha sentido contrário e módulo igual a 5. Precisamos escalar o vetor original para ajustar seu módulo para 5 e inverter seu sentido.

Passo 9

O módulo de é . Para obter um vetor com módulo 5 e sentido contrário, calculamos a constante de escala :
Como queremos sentido contrário, multiplicamos por :
Racionalizando o denominador:

Resposta

O vetor paralelo a com sentido contrário e módulo 5 é .

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a)
b)
c)
Seja a transformação linear definida por .
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b) Determine uma base de constituída de autovetores de . Qual a representação matricial de nessa base?
Dados os vetores e , calcular:
a)
b)
Sejam A=(0,1,-1), B=(2,0,1) e C=(1,3,1) vértices de um triângulo.
(a) Calcule o perímetro deste triângulo.