Dado o vetor
, determinar o vetor paralelo a
que tenha:
a) sentido contrário ao de
e três vezes o módulo de
;
b) o mesmo sentido de
e módulo 4
c) sentido contrário ao de
e módulo 5 .
a) sentido contrário ao de
b) o mesmo sentido de
c) sentido contrário ao de
Passo 1
Vamos resolver a parte a) do exercício. Temos o vetor
. O objetivo é encontrar um vetor paralelo a
que tenha sentido contrário ao de
e três vezes o módulo de
. Para isso, vamos precisar entender como manipular vetores para mudar seu sentido e escalar seu módulo.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o módulo de
. O módulo de um vetor
é dado por:
Aplicando isso ao nosso vetor:
Passo 3
Como queremos um vetor com três vezes o módulo de
, calculamos:
Passo 4
Para mudar o sentido do vetor, multiplicamos o vetor original por
. Portanto, o vetor paralelo desejado será:
Onde
é a constante de escala que ajusta o módulo para
. Calculamos
da seguinte forma:
Portanto:
Passo 5
Agora, vamos resolver a parte b) do exercício. Queremos um vetor paralelo a
que tenha o mesmo sentido de
e módulo igual a 4. Precisamos escalar o vetor original de forma que seu módulo seja ajustado para 4 mantendo o mesmo sentido.
Passo 6
Já sabemos que o módulo de
é
. Para obter um vetor com módulo 4, determinamos a constante de escala
:
Passo 7
Multiplicamos o vetor original por
:
Para simplificar, podemos racionalizar o denominador multiplicando numerador e denominador por
:
Passo 8
Por fim, vamos resolver a parte c) do exercício. Buscamos um vetor paralelo a
que tenha sentido contrário e módulo igual a 5. Precisamos escalar o vetor original para ajustar seu módulo para 5 e inverter seu sentido.
Passo 9
O módulo de
é
. Para obter um vetor com módulo 5 e sentido contrário, calculamos a constante de escala
:
Como queremos sentido contrário, multiplicamos por
:
Racionalizando o denominador:
Resposta
O vetor paralelo a
com sentido contrário e módulo 5 é
.