Calcular a e b para que os planos 2 x+3 y+3=0 e (a-2) x+6 y+(b-1) z+5=0 sejam paralelos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores de a e b para que os dois planos dados sejam paralelos. Para isso, vamos usar o conteúdo de geomatria analítica, especificamente sobre planos e vetores normais. Vamos precisar entender como identificar os vetores normais de cada plano e como verificar se eles são paralelos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. O vetor normal de um plano na forma geral n1 = (2, 3, 0) é dado por n2 = (a-2, 6, b-1) .
  • Plano 1:
    Aqui, os coeficientes de , e são , e (porque não tem o termo ). Então, o vetor normal é:
  • Plano 2:
    Os coeficientes são , e . Assim, o vetor normal é:

Passo 3

Para que os planos sejam paralelos, os vetores normais deles devem ser proporcionais, ou seja, existe um escalar n2 = k cdot n1 tal que:
a - 2 = k cdot 2 (1)
Isso significa que cada componente de 6 = k cdot 3 (2) é igual ao respectivo componente de b - 1 = k cdot 0 (3) multiplicado por .
Então, podemos escrever as seguintes equações:

Passo 4

Vamos resolver essas equações para encontrar 6 = 3k implies k = 63 = 2 , a - 2 = 2 cdot 2 implies a - 2 = 4 implies a = 4 + 2 = 6 e b - 1 = 2 cdot 0 implies b - 1 = 0 implies b = 1 .
Começando pela equação (2):
Agora que temos , podemos substituir esse valor na equação (1) para encontrar :
Por último, na equação (3):

Resposta

Os valores que tornam os planos paralelos são:
a = 6 e b = 1

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