A partir das resoluções da questão anterior determine as equações paramétricas das curvas abaixo:
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três equações de curvas e precisamos encontrar as equações paramétricas de cada uma delas. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, mais especificamente às conicas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado em cada equação e então encontrar parâmetros que representem
e
em termos de uma terceira variável, geralmente
.
Passo 2
a)
Primeiro, vamos rearranjar os termos para completar o quadrado.
- Agrupe os termos de
e os de : - Complete o quadrado para
: - Fator comum de 9:
- Complete o quadrado:
- Fator comum de 9:
- Complete o quadrado para
: - Fator comum de -1:
- Complete o quadrado:
- Fator comum de -1:
- Substitua na equação original:
- Simplifique:
- Divida todos os termos por -36 para obter a equação padrão da hipérbole:
Agora, sabemos que as equações paramétricas de uma hipérbole com eixo vertical são:
Mas podemos usar uma parametrização mais simples usando trigonometria hiperbólica.
Então, para nossa hipérbole:
Passo 3
b)
Vamos rearranjar para completar o quadrado em
:
- Isolate terms:
- Complete o quadrado para
: - Rearrange to standard form:
Esta é a equação de uma parábola que abre para a esquerda. As equações paramétricas para uma parábola
são:
Para nossa parábola:
Passo 4
c)
Vamos completar o quadrado para
e
:
- Agrupe os termos:
- Complete o quadrado para
: - Complete o quadrado para
: - Substitua na equação:
- Divida todos os termos por 4:
Esta é a equação de uma elipse com eixos alinhados aos eixos cartesianos. As equações paramétricas de uma elipse são:
Para nossa elipse:
Resposta
As equações paramétricas das curvas são:
a)
b)
c)