A partir das resoluções da questão anterior determine as equações paramétricas das curvas abaixo:
a) 9 x^2-y^2+36 x+6 y+63=0
b) y^2+4 y+16 x-44=0
c) x^2+4 y^2-4 x+8 y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos três equações de curvas e precisamos encontrar as equações paramétricas de cada uma delas. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, mais especificamente às conicas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado em cada equação e então encontrar parâmetros que representem e em termos de uma terceira variável, geralmente .

Passo 2

a) 9x^2 + 36x - y^2 + 6y = -63
Primeiro, vamos rearranjar os termos para completar o quadrado.
  1. Agrupe os termos de 9(x^2 + 4x) e os de 9(x^2 + 4x + 4) - 36 : - (y^2 - 6y)
  2. Complete o quadrado para - (y^2 - 6y + 9) + 9 :
    • Fator comum de 9: 9(x + 2)^2 - (y - 3)^2 - 36 + 9 = -63
    • Complete o quadrado: 9(x + 2)^2 - (y - 3)^2 = -63 + 36 - 9 = -36
  3. Complete o quadrado para (y - 3)^236 - (x + 2)^24 = 1 :
    • Fator comum de -1: x = h + a sinh(t) y = k + b cosh(t)
    • Complete o quadrado: x = -2 + 2 sinh(t) y = 3 + 6 cosh(t)
  4. Substitua na equação original:
  5. Simplifique:
  6. Divida todos os termos por -36 para obter a equação padrão da hipérbole:
Agora, sabemos que as equações paramétricas de uma hipérbole com eixo vertical são:
Mas podemos usar uma parametrização mais simples usando trigonometria hiperbólica.
Então, para nossa hipérbole:

Passo 3

b) y^2 + 4y = -16x + 44
Vamos rearranjar para completar o quadrado em y^2 + 4y + 4 = -16x + 44 + 4 Rightarrow (y + 2)^2 = -16x + 48 :
  1. Isolate terms: (y + 2)^2 = -16(x - 3)
  2. Complete o quadrado para x = h + pt^2 y = k + 2pt : x = 3 - t^2 y = -2 + 4t
  3. Rearrange to standard form:
Esta é a equação de uma parábola que abre para a esquerda. As equações paramétricas para uma parábola são:
Para nossa parábola:

Passo 4

c) x^2 - 4x + 4y^2 + 8y = -4
Vamos completar o quadrado para x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 e 4y^2 + 8y + 4 = 4(y^2 + 2y + 1) = 4(y + 1)^2 :
  1. Agrupe os termos: (x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 = -4 + 4 + 4 = 4
  2. Complete o quadrado para (x - 2)^24 + (y + 1)^21 = 1 : x = h + a cos(t) y = k + b sin(t)
  3. Complete o quadrado para x = 2 + 2 cos(t) y = -1 + sin(t) :
  4. Substitua na equação:
  5. Divida todos os termos por 4:
Esta é a equação de uma elipse com eixos alinhados aos eixos cartesianos. As equações paramétricas de uma elipse são:
Para nossa elipse:

Resposta

As equações paramétricas das curvas são:
a)
x = -2 + 2 sinh(t) y = 3 + 6 cosh(t)
b)
x = 3 - t^2 y = -2 + 4t
c)
x = 2 + 2 cos(t) y = -1 + sin(t)

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