A partir das resoluções da questão anterior determine as equações paramétricas das curvas abaixo:
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos três equações de curvas e precisamos encontrar as equações paramétricas de cada uma delas. Isso está relacionado ao estudo de geometria analítica, mais especificamente às conicas. Para resolver isso, vamos precisar completar o quadrado em cada equação e então encontrar parâmetros que representem e em termos de uma terceira variável, geralmente .
Passo 2
a)
Primeiro, vamos rearranjar os termos para completar o quadrado.
Agrupe os termos de e os de :
Complete o quadrado para :
Fator comum de 9:
Complete o quadrado:
Complete o quadrado para :
Fator comum de -1:
Complete o quadrado:
Substitua na equação original:
Simplifique:
Divida todos os termos por -36 para obter a equação padrão da hipérbole:
Agora, sabemos que as equações paramétricas de uma hipérbole com eixo vertical são:
Mas podemos usar uma parametrização mais simples usando trigonometria hiperbólica.
Então, para nossa hipérbole:
Passo 3
b)
Vamos rearranjar para completar o quadrado em :
Isolate terms:
Complete o quadrado para :
Rearrange to standard form:
Esta é a equação de uma parábola que abre para a esquerda. As equações paramétricas para uma parábola são:
Para nossa parábola:
Passo 4
c)
Vamos completar o quadrado para e :
Agrupe os termos:
Complete o quadrado para :
Complete o quadrado para :
Substitua na equação:
Divida todos os termos por 4:
Esta é a equação de uma elipse com eixos alinhados aos eixos cartesianos. As equações paramétricas de uma elipse são: