Obter a equação do plano que passa pelos pontos e e é ortogonal ao plano .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e , e que é ortogonal ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e vetores normais. Vamos precisar identificar vetores que estão no plano desejado e também a relação de ortogonalidade com o outro plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser ortogonal a outro. Dois planos são ortogonais se os seus vetores normais são perpendiculares entre si. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a qualquer vetor que está dentro do plano.

Passo 3

Vamos identificar o vetor normal do plano dado . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal. Então, para o nosso plano, o vetor normal é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal do plano que queremos determinar, vamos chamar de . Como os planos são ortogonais, deve ser perpendicular a . Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero: .

Passo 5

Além disso, o plano que estamos procurando passa pelos pontos e . Vamos encontrar o vetor que liga esses dois pontos, que estará dentro do plano. Esse vetor é .

Passo 6

Como está no plano, ele deve ser perpendicular ao vetor normal . Então, temos mais uma condição para : .

Passo 7

Agora, temos duas equações para encontrar :
Resolvendo esse sistema:

Passo 8

Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Substituindo na primeira equação:
Podemos escolher (já que estamos procurando a direção, a escolha de um valor não afeta o resultado final). Então, e .

Passo 9

Então, o vetor normal do nosso plano é .

Passo 10

Agora, usamos a forma geral da equação do plano: , onde é o vetor normal e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :

Resposta

A equação do plano é .

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Calcular a e b para que os planos e sejam paralelos.
Responda ou , justificando:
(i) Se tiver tamanho e forem matrizes distintas, então é linearmente independente.
A partir das resoluções da questão anterior determine as equações paramétricas das curvas abaixo:
a)
b)
c)
Se
ache
$$
[v]{\alpha^{\prime}} [v]{\alpha}=\left[ \right]
$$