Obter a equação do plano que passa pelos pontos P=(1,3,0) e P=(2,0,1) e é ortogonal ao plano x+y-z+3=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e , e que é ortogonal ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e vetores normais. Vamos precisar identificar vetores que estão no plano desejado e também a relação de ortogonalidade com o outro plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser ortogonal a outro. Dois planos são ortogonais se os seus vetores normais são perpendiculares entre si. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a qualquer vetor que está dentro do plano.

Passo 3

Vamos identificar o vetor normal do plano dado . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal. Então, para o nosso plano, o vetor normal é .

Passo 4

Agora, precisamos encontrar o vetor normal do plano que queremos determinar, vamos chamar de . Como os planos são ortogonais, deve ser perpendicular a . Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero: .

Passo 5

Além disso, o plano que estamos procurando passa pelos pontos e . Vamos encontrar o vetor que liga esses dois pontos, que estará dentro do plano. Esse vetor é .

Passo 6

Como está no plano, ele deve ser perpendicular ao vetor normal . Então, temos mais uma condição para : .

Passo 7

Agora, temos duas equações para encontrar a + b - c = 0 a - 3b + c = 0 :
Resolvendo esse sistema:

Passo 8

Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
(a + b - c) - (a - 3b + c) = 0 - 0 4b - 2c = 0 2b - c = 0 Rightarrow c = 2b
Substituindo a + b - 2b = 0 a - b = 0 Rightarrow a = b na primeira equação:
Podemos escolher (já que estamos procurando a direção, a escolha de um valor não afeta o resultado final). Então, e .

Passo 9

Então, o vetor normal do nosso plano é .

Passo 10

Agora, usamos a forma geral da equação do plano: 1(x - 1) + 1(y - 3) + 2(z - 0) = 0 x - 1 + y - 3 + 2z = 0 x + y + 2z - 4 = 0 , onde é o vetor normal e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :

Resposta

A equação do plano é .

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