Obter a equação do plano que passa pelos pontos e e é ortogonal ao plano .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação de um plano que passa pelos pontos e , e que é ortogonal ao plano dado pela equação . Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos no espaço e vetores normais. Vamos precisar identificar vetores que estão no plano desejado e também a relação de ortogonalidade com o outro plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um plano ser ortogonal a outro. Dois planos são ortogonais se os seus vetores normais são perpendiculares entre si. O vetor normal de um plano é aquele que é perpendicular a qualquer vetor que está dentro do plano.
Passo 3
Vamos identificar o vetor normal do plano dado . A equação geral de um plano é , onde é o vetor normal. Então, para o nosso plano, o vetor normal é .
Passo 4
Agora, precisamos encontrar o vetor normal do plano que queremos determinar, vamos chamar de . Como os planos são ortogonais, deve ser perpendicular a . Para que dois vetores sejam perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser zero: .
Passo 5
Além disso, o plano que estamos procurando passa pelos pontos e . Vamos encontrar o vetor que liga esses dois pontos, que estará dentro do plano. Esse vetor é .
Passo 6
Como está no plano, ele deve ser perpendicular ao vetor normal . Então, temos mais uma condição para : .
Passo 7
Agora, temos duas equações para encontrar :
Resolvendo esse sistema:
Passo 8
Vamos subtrair a segunda equação da primeira:
Substituindo na primeira equação:
Podemos escolher (já que estamos procurando a direção, a escolha de um valor não afeta o resultado final). Então, e .
Passo 9
Então, o vetor normal do nosso plano é .
Passo 10
Agora, usamos a forma geral da equação do plano: , onde é o vetor normal e é um ponto no plano. Vamos usar o ponto :