Responda V ou F, justificando:
(i) Se A tiver tamanho n times n e In, A, A^2, ldots, A^n^2 forem matrizes distintas, então In, A, A^2, ldots, A^n^2 é linearmente independente.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para determinar se um conjunto de matrizes é linearmente independente. Precisamos entender o que significa linearmente independente e aplicar esse conceito ao conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Se isso não for possível, dizemos que o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

No exercício, temos um conjunto de matrizes: . Aqui, é a matriz identidade de ordem , e é uma matriz quadrada de ordem . As matrizes são todas distintas até .

Passo 4

O espaço de todas as matrizes tem dimensão . Isso significa que qualquer conjunto de mais de matrizes será linearmente dependente. No nosso caso, temos matrizes no conjunto.

Passo 5

Mesmo que todas as matrizes no conjunto sejam distintas, como temos mais matrizes do que a dimensão do espaço ( ), obrigatoriamente haverá pelo menos uma matriz que pode ser escrita como combinação linear das demais. Portanto, o conjunto não é linearmente independente.

Resposta

F (Falso). O conjunto contém mais matrizes do que a dimensão do espaço , tornando-o linearmente dependente.

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