Responda ou , justificando:
(i) Se tiver tamanho e forem matrizes distintas, então é linearmente independente.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para determinar se um conjunto de matrizes é linearmente independente. Precisamos entender o que significa linearmente independente e aplicar esse conceito ao conjunto dado.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Se isso não for possível, dizemos que o conjunto é linearmente independente.

Passo 3

No exercício, temos um conjunto de matrizes: . Aqui, é a matriz identidade de ordem , e é uma matriz quadrada de ordem . As matrizes são todas distintas até .

Passo 4

O espaço de todas as matrizes tem dimensão . Isso significa que qualquer conjunto de mais de matrizes será linearmente dependente. No nosso caso, temos matrizes no conjunto.

Passo 5

Mesmo que todas as matrizes no conjunto sejam distintas, como temos mais matrizes do que a dimensão do espaço ( ), obrigatoriamente haverá pelo menos uma matriz que pode ser escrita como combinação linear das demais. Portanto, o conjunto não é linearmente independente.

Resposta

F (Falso). O conjunto contém mais matrizes do que a dimensão do espaço , tornando-o linearmente dependente.

Exercícios relacionados

Identifique a partir da equação geral cada uma das cônicas a seguir. E, em cada uma, identifique vértice(s) e foco(s), e centro, quando for o caso.
a)
b)
c)
Sejam e três bases ordenadas de .
Ache
ii.
Calcular a e b para que os planos e sejam paralelos.
Obter a equação do plano que passa pelos pontos e e é ortogonal ao plano .