Responda
ou
, justificando:
(i) Se
tiver tamanho
e
forem matrizes distintas, então
é linearmente independente.
(i) Se
Passo 1
Vamos resolver um exercício de Álgebra Linear. A questão nos pede para determinar se um conjunto de matrizes é linearmente independente. Precisamos entender o que significa linearmente independente e aplicar esse conceito ao conjunto dado.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é independência linear. Um conjunto de vetores (ou matrizes, nesse caso) é linearmente independente se nenhuma matriz do conjunto pode ser escrita como uma combinação linear das outras. Se isso não for possível, dizemos que o conjunto é linearmente independente.
Passo 3
No exercício, temos um conjunto de matrizes:
. Aqui,
é a matriz identidade de ordem
, e
é uma matriz quadrada de ordem
. As matrizes são todas distintas até
.
Passo 4
O espaço de todas as matrizes
tem dimensão
. Isso significa que qualquer conjunto de mais de
matrizes será linearmente dependente. No nosso caso, temos
matrizes no conjunto.
Passo 5
Mesmo que todas as matrizes no conjunto sejam distintas, como temos mais matrizes do que a dimensão do espaço (
), obrigatoriamente haverá pelo menos uma matriz que pode ser escrita como combinação linear das demais. Portanto, o conjunto não é linearmente independente.
Resposta
F (Falso). O conjunto contém mais matrizes do que a dimensão do espaço
, tornando-o linearmente dependente.
Exercícios relacionados
Identifique a partir da equação geral cada uma das cônicas a seguir. E, em cada uma, identifique vértice(s) e foco(s), e centro, quando for o caso.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Sejam
e
três bases ordenadas de
.
Ache
ii.
Ache
ii.
Calcular a e b para que os planos
e
sejam paralelos.
Obter a equação do plano que passa pelos pontos
e
e é ortogonal ao plano
.