Identifique a partir da equação geral cada uma das cônicas a seguir. E, em cada uma, identifique vértice(s) e foco(s), e centro, quando for o caso.
a) 9 x^2-y^2+36 x+6 y+63=0
b) y^2+4 y+16 x-44=0
c) x^2+4 y^2-4 x+8 y+4=0

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar que tipo de cônica cada uma dessas equações representa. A gente vai precisar entender um pouco sobre as diferentes cônicas: elipse, hipérbole e parábola. Além disso, vamos precisar completar o quadrado para colocar as equações na forma padrão e, assim, identificar vértices, focos e centros. Então, prepara o café que vamos resolver passo a passo!

Passo 2

a) 9x^2 + 36x - y^2 + 6y = -63
Primeiro, vamos rearrumar a equação agrupando os termos de 9x^2 + 36x = 9(x^2 + 4x) e x^2 + 4x = (x + 2)^2 - 4:
9(x^2 + 4x) = 9[(x + 2)^2 - 4] = 9(x + 2)^2 - 36
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de -y^2 + 6y = -(y^2 - 6y) e de y^2 - 6y = (y - 3)^2 - 9.
Para -(y^2 - 6y) = -( (y - 3)^2 - 9 ) = - (y - 3)^2 + 9:
9(x + 2)^2 - 36 - (y - 3)^2 + 9 = -63
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
9(x + 2)^2 - (y - 3)^2 -27 = -63
Então:
9(x + 2)^2 - (y - 3)^2 = -36
Para (y - 3)^236 - (x + 2)^24 = 1:
Completando o quadrado:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Adicionando 27 em ambos os lados:
Dividindo tudo por para facilitar a identificação:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo vertical.
Agora, identificando centros, vértices e focos:
  • Centro:
  • a² = 36 então
  • b² = 4 então
  • **c² = a² + b² = 36 + 4 = 40) então
  • Vértices: Como a hipérbole tem eixo vertical, os vértices estão a unidades acima e abaixo do centro: ou e
  • Focos: Também ao longo do eixo vertical:

Passo 3

b) y^2 + 4y = -16x + 44
Vamos organizar a equação agrupando os termos de y^2 + 4y = (y + 2)^2 - 4 e (y + 2)^2 - 4 = -16x + 44:
(y + 2)^2 = -16x + 48
Vamos completar o quadrado para (y + 2)^216 = -x + 3:
(y + 2)^2 = -16(x - 3)
Substituindo de volta:
Isolando :
Dividindo por :
Rearranjando para a forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma parábola com abertura para a esquerda.
Agora, identificando vértices e foco:
  • Vértice:
  • Valor de então
  • Foco: unidades à esquerda do vértice:
  • Diretriz:

Passo 4

c) x^2 - 4x + 4y^2 + 8y = -4
Vamos organizar a equação agrupando termos de x^2 - 4x = (x - 2)^2 - 4 e 4y^2 + 8y = 4(y^2 + 2y):
y^2 + 2y = (y + 1)^2 -1
Vamos completar o quadrado para 4(y^2 + 2y) = 4[(y + 1)^2 -1] = 4(y + 1)^2 -4 e para (x - 2)^2 - 4 + 4(y + 1)^2 -4 = -4.
Para (x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 -8 = -4:
(x - 2)^2 + 4(y + 1)^2 = 4
Para (x - 2)^24 + (y + 1)^21 = 1:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Adicionando 8 em ambos os lados:
Dividindo tudo por 4 para colocar na forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma elipse.
Agora, identificando centro, vértices e focos:
  • Centro:
  • a² = 4 então (eixo maior ao longo de )
  • b² = 1 então
  • **c² = a² - b² = 4 -1 =3) então
  • Vértices: unidades à direita e à esquerda do centro: ou e
  • Focos:

Resposta

a) Hipérbole
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
b) Parábola
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
c) Elipse
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e

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