Identifique a partir da equação geral cada uma das cônicas a seguir. E, em cada uma, identifique vértice(s) e foco(s), e centro, quando for o caso.
a)
b)
c)
a)
b)
c)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar que tipo de cônica cada uma dessas equações representa. A gente vai precisar entender um pouco sobre as diferentes cônicas: elipse, hipérbole e parábola. Além disso, vamos precisar completar o quadrado para colocar as equações na forma padrão e, assim, identificar vértices, focos e centros. Então, prepara o café que vamos resolver passo a passo!
Passo 2
a)
Primeiro, vamos rearrumar a equação agrupando os termos de
e
:
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de
e de
.
Para
:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Para
:
Completando o quadrado:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Adicionando 27 em ambos os lados:
Dividindo tudo por
para facilitar a identificação:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo vertical.
Agora, identificando centros, vértices e focos:
- Centro:
- a² = 36 então
- b² = 4 então
- **c² = a² + b² = 36 + 4 = 40) então
- Vértices: Como a hipérbole tem eixo vertical, os vértices estão a
unidades acima e abaixo do centro: ou e - Focos: Também ao longo do eixo vertical:
Passo 3
b)
Vamos organizar a equação agrupando os termos de
e
:
Vamos completar o quadrado para
:
Substituindo de volta:
Isolando
:
Dividindo por
:
Rearranjando para a forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma parábola com abertura para a esquerda.
Agora, identificando vértices e foco:
- Vértice:
- Valor de
então - Foco:
unidades à esquerda do vértice: - Diretriz:
Passo 4
c)
Vamos organizar a equação agrupando termos de
e
:
Vamos completar o quadrado para
e para
.
Para
:
Para
:
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Adicionando 8 em ambos os lados:
Dividindo tudo por 4 para colocar na forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma elipse.
Agora, identificando centro, vértices e focos:
- Centro:
- a² = 4 então
(eixo maior ao longo de ) - b² = 1 então
- **c² = a² - b² = 4 -1 =3) então
- Vértices:
unidades à direita e à esquerda do centro: ou e - Focos:
Resposta
a) Hipérbole
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e
b) Parábola
- Vértice:
- Foco:
- Diretriz:
c) Elipse
- Centro:
- Vértices:
e - Focos:
e
Exercícios relacionados
Sejam
e
três bases ordenadas de
.
Ache
ii.
Ache
ii.
Mostre que a reta
dada pela intersecção dos planos
e
é paralela ao plano
, e calcule a distância entre
e
.
Responda
ou
, justificando:
(i) Se tiver tamanho
e
forem matrizes distintas, então
é linearmente independente.
(i) Se
Calcular a e b para que os planos
e
sejam paralelos.