Identifique a partir da equação geral cada uma das cônicas a seguir. E, em cada uma, identifique vértice(s) e foco(s), e centro, quando for o caso.
a)
b)
c)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para identificar que tipo de cônica cada uma dessas equações representa. A gente vai precisar entender um pouco sobre as diferentes cônicas: elipse, hipérbole e parábola. Além disso, vamos precisar completar o quadrado para colocar as equações na forma padrão e, assim, identificar vértices, focos e centros. Então, prepara o café que vamos resolver passo a passo!

Passo 2

a)
Primeiro, vamos rearrumar a equação agrupando os termos de e :
Agora, vamos completar o quadrado para os termos de e de .
Para :
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Para :
Completando o quadrado:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Adicionando 27 em ambos os lados:
Dividindo tudo por para facilitar a identificação:
Essa é a forma padrão de uma hipérbole com eixo vertical.
Agora, identificando centros, vértices e focos:
  • Centro:
  • a² = 36 então
  • b² = 4 então
  • **c² = a² + b² = 36 + 4 = 40) então
  • Vértices: Como a hipérbole tem eixo vertical, os vértices estão a unidades acima e abaixo do centro: ou e
  • Focos: Também ao longo do eixo vertical:

Passo 3

b)
Vamos organizar a equação agrupando os termos de e :
Vamos completar o quadrado para :
Substituindo de volta:
Isolando :
Dividindo por :
Rearranjando para a forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma parábola com abertura para a esquerda.
Agora, identificando vértices e foco:
  • Vértice:
  • Valor de então
  • Foco: unidades à esquerda do vértice:
  • Diretriz:

Passo 4

c)
Vamos organizar a equação agrupando termos de e :
Vamos completar o quadrado para e para .
Para :
Para :
Completando o quadrado dentro dos parênteses:
Então:
Substituindo de volta na equação:
Simplificando:
Adicionando 8 em ambos os lados:
Dividindo tudo por 4 para colocar na forma padrão:
Essa é a forma padrão de uma elipse.
Agora, identificando centro, vértices e focos:
  • Centro:
  • a² = 4 então (eixo maior ao longo de )
  • b² = 1 então
  • **c² = a² - b² = 4 -1 =3) então
  • Vértices: unidades à direita e à esquerda do centro: ou e
  • Focos:

Resposta

a) Hipérbole
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e
b) Parábola
  • Vértice:
  • Foco:
  • Diretriz:
c) Elipse
  • Centro:
  • Vértices: e
  • Focos: e

Exercícios relacionados

Sejam e três bases ordenadas de .
Ache
ii.
Mostre que a reta dada pela intersecção dos planos e é paralela ao plano , e calcule a distância entre e .
Responda ou , justificando:
(i) Se tiver tamanho e forem matrizes distintas, então é linearmente independente.
Calcular a e b para que os planos e sejam paralelos.