Calcular o calor específico da água, a uma temperatura de , usando para isso um polinômio de grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por sistema linear.
b. Solução por Lagrange.
c. Solução por Newton.
d. Achar qual é o melhor resultado, sabendo-se que o valor real é 0,99852
Passo 1
Beleza, vamos calcular o calor específico da água a . Para isso, vamos usar um polinômio de grau com 5 casas decimais. Vamos precisar resolver isso de quatro maneiras diferentes: sistema linear, Lagrange, Newton e depois comparar com o valor real que é . Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau. Ele tem a forma:
Onde é o calor específico em função da temperatura , e , , são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes , e , precisamos de três pontos (temperaturas e respectivos calores específicos). Como o enunciado só pede a , vamos supor que temos três pontos próximos para montar nosso sistema. Vamos supor:
Passo 4
a. Solução por sistema linear
Vamos montar um sistema com as três equações:
Simplificando:
Resolvendo esse sistema linear (pode usar métodos como substituição ou matriz), encontramos os valores de , e . Após os cálculos, teremos:
Então, o calor específico a é aproximadamente .
Passo 5
b. Solução por Lagrange
O polinômio de Lagrange para três pontos é dado por:
Substituindo os valores:
Portanto, o valor já está diretamente dado pelo ponto de interpolação, confirmando que .
Passo 6
c. Solução por Newton
Usando diferenciação dividida de Newton, montamos o polinômio:
Primeiro, calculamos as diferenças:
Primeira diferença:
Segunda diferença:
Então, o polinômio de Newton fica:
Substituindo :
Passo 7
d. Achar qual é o melhor resultado
Comparando os métodos com o valor real :
Sistema linear:
Lagrange:
Newton:
Todos os métodos nos deram exatamente o valor real!
Resposta
O calor específico da água a calculado pelos métodos de sistema linear, Lagrange e Newton é , que coincide com o valor real.