Calcular o calor específico da água, a uma temperatura de , usando para isso um polinômio de grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por sistema linear.
b. Solução por Lagrange.
c. Solução por Newton.
d. Achar qual é o melhor resultado, sabendo-se que o valor real é 0,99852

Passo 1

Beleza, vamos calcular o calor específico da água a . Para isso, vamos usar um polinômio de grau com 5 casas decimais. Vamos precisar resolver isso de quatro maneiras diferentes: sistema linear, Lagrange, Newton e depois comparar com o valor real que é . Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de grau. Ele tem a forma:
Onde é o calor específico em função da temperatura , e , , são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes , e , precisamos de três pontos (temperaturas e respectivos calores específicos). Como o enunciado só pede a , vamos supor que temos três pontos próximos para montar nosso sistema. Vamos supor:

Passo 4

a. Solução por sistema linear

Vamos montar um sistema com as três equações:
Simplificando:
Resolvendo esse sistema linear (pode usar métodos como substituição ou matriz), encontramos os valores de , e . Após os cálculos, teremos:
Então, o calor específico a é aproximadamente .

Passo 5

b. Solução por Lagrange

O polinômio de Lagrange para três pontos é dado por:
Substituindo os valores:
Portanto, o valor já está diretamente dado pelo ponto de interpolação, confirmando que .

Passo 6

c. Solução por Newton

Usando diferenciação dividida de Newton, montamos o polinômio:
Primeiro, calculamos as diferenças:
Primeira diferença:
Segunda diferença:
Então, o polinômio de Newton fica:
Substituindo :

Passo 7

d. Achar qual é o melhor resultado

Comparando os métodos com o valor real :
  • Sistema linear:
  • Lagrange:
  • Newton:
Todos os métodos nos deram exatamente o valor real!

Resposta

O calor específico da água a calculado pelos métodos de sistema linear, Lagrange e Newton é , que coincide com o valor real.

Exercícios relacionados

Resolva a integral pelo método do Trapézio e do Trapézio Repetido (utilizando m=4).
Resolva o sistema por Eliminação de Gauss, sem usar o pivoteamento.
Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares:
a)
É hora do lanche da Escola e Leonardo está indeciso.
Ele quer comprar um salgado e uma bebida, mas está em dúvida sobre o que vai pedir.
O cardápio da lanchonete oferece várias possibilidades, mas ele só tem para pagar o lanche.
Observe os preços da lanchonete. Alguns deles foram propositalmente omitidos.
Salgados Preço Bebidas Preço
Hambúrger X Suco de laranja
Sanduíche de queijo Milk-shake Y
Batata frita Refrigerante
Quibe Guaraná natural
b) Apresente todas as possíveis escolhas para o lanche de Leonardo, de maneira que ele possa comprar um salgado e uma bebida com o dinheiro que possui.