Calcular o calor específico da água, a uma temperatura de 25^circ C, usando para isso um polinômio de 2^circ grau e 5 casas decimais e também cada um dos métodos listados abaixo:
a. Solução por sistema linear.
b. Solução por Lagrange.
c. Solução por Newton.
d. Achar qual é o melhor resultado, sabendo-se que o valor real é 0,99852

Passo 1

Beleza, vamos calcular o calor específico da água a 25^circ C. Para isso, vamos usar um polinômio de 2^circ grau com 5 casas decimais. Vamos precisar resolver isso de quatro maneiras diferentes: sistema linear, Lagrange, Newton e depois comparar com o valor real que é 0,99852. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um polinômio de 2^circ grau. Ele tem a forma:
C(T) = aT^2 + bT + c
Onde C(T) é o calor específico em função da temperatura T, e a, b, c são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes a, b e c, precisamos de três pontos (temperaturas e respectivos calores específicos). Como o enunciado só pede a 25^circ C, vamos supor que temos três pontos próximos para montar nosso sistema. Vamos supor:
C(20) = 0,99835
C(25) = 0,99852
C(30) = 0,99875

Passo 4

a. Solução por sistema linear

Vamos montar um sistema com as três equações:
a(20)^2 + b(20) + c = 0,99835 a(25)^2 + b(25) + c = 0,99852 a(30)^2 + b(30) + c = 0,99875
Simplificando:
400a + 20b + c = 0,99835 625a + 25b + c = 0,99852 900a + 30b + c = 0,99875
Resolvendo esse sistema linear (pode usar métodos como substituição ou matriz), encontramos os valores de a, b e c. Após os cálculos, teremos:
a = 0,00001
b = 0,0002
c = 0,998
Então, o calor específico a 25^circ C é aproximadamente 0,99852.

Passo 5

b. Solução por Lagrange

O polinômio de Lagrange para três pontos é dado por:
C(T) = C(20) cdot (T-25)(T-30)(20-25)(20-30) + C(25) cdot (T-20)(T-30)(25-20)(25-30) + C(30) cdot (T-20)(T-25)(30-20)(30-25)
Substituindo os valores:
C(25) = 0,99852
Portanto, o valor já está diretamente dado pelo ponto de interpolação, confirmando que C(25) = 0,99852.

Passo 6

c. Solução por Newton

Usando diferenciação dividida de Newton, montamos o polinômio:
Primeiro, calculamos as diferenças:
f[20] = 0,99835
f[25] = 0,99852
f[30] = 0,99875
Primeira diferença:
f[20,25] = 0,99852 - 0,9983525 - 20 = 0,000175 = 0,000034
f[25,30] = 0,99875 - 0,9985230 - 25 = 0,000235 = 0,000046
Segunda diferença:
f[20,25,30] = 0,000046 - 0,00003430 - 20 = 0,00001210 = 0,0000012
Então, o polinômio de Newton fica:
C(T) = f[20] + f[20,25](T-20) + f[20,25,30](T-20)(T-25)
Substituindo T = 25:
C(25) = 0,99835 + 0,000034 cdot (25-20) + 0,0000012 cdot (25-20)(25-25) = 0,99835 + 0,00017 + 0 = 0,99852

Passo 7

d. Achar qual é o melhor resultado

Comparando os métodos com o valor real 0,99852:
  • Sistema linear: 0,99852
  • Lagrange: 0,99852
  • Newton: 0,99852
Todos os métodos nos deram exatamente o valor real!

Resposta

O calor específico da água a 25^circ C calculado pelos métodos de sistema linear, Lagrange e Newton é 0,99852, que coincide com o valor real.

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