Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares:
a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é escalonar esse sistema, ou seja, colocá-lo em uma forma que facilite a solução, e depois classificar o sistema para ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que envolve manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
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Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis das equações para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando .
Passo 3
Para eliminar , vamos combinar as Equações 1 e 2, e depois as Equações 1 e 3 de forma a cancelar .
Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 4 para que os coeficientes de sejam iguais:
çãçã
Agora, subtraímos a nova Equação 1 da nova Equação 2 para eliminar :
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Passo 4
Agora, vamos eliminar usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 5 e a Equação 3 por 4:
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Subtraindo a nova Equação 1 da nova Equação 3:
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Passo 5
Agora temos duas equações com e :
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Podemos simplificar ambas dividindo os coeficientes por 13 e 7, respectivamente:
çãçã
Percebemos que as duas equações são iguais, o que indica que temos uma dependência linear e, portanto, uma infinidade de soluções para e .
Passo 6
Vamos atribuir um valor livre para uma das variáveis. Por exemplo, deixamos , onde é um parâmetro real.
A partir da Equação 4 simplificada:
Agora, temos e em termos de . Vamos descobrir usando a Equação 1 original:
Substituindo e :
Passo 7
Agora temos todas as variáveis expressas em termos de :
Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, pois pode assumir qualquer valor real.