Escalone, resolva e classifique os sistemas lineares:
a) ccc4 x- & 3 y+ z=3 3 x+y+ 4 z=-1 5 x- & 2 y+ 3 z=2

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que temos aqui é um sistema de três equações lineares com três incógnitas: , e . Nosso objetivo é escalonar esse sistema, ou seja, colocá-lo em uma forma que facilite a solução, e depois classificar o sistema para ver se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução. Para resolver isso, vamos usar o método de eliminação de Gauss, que envolve manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de forma organizada:
4x - 3y + z = 3 (Equação 1) 3x + y + 4z = -1 (Equação 2) 5x - 2y + 3z = 2 (Equação 3) çãçãçã
Nosso objetivo é eliminar uma das variáveis das equações para facilitar a resolução. Vamos começar eliminando .

Passo 3

Para eliminar 12x - 9y + 3z = 9 (Equação 1 mu, vamos combinar as Equações 1 e 2, e depois as Equações 1 e 3 de forma a cancelar (12x + 4y + 16z) - (12x - 9y + 3z) = -4 - 9 .
Primeiro, multiplicamos a Equação 1 por 3 e a Equação 2 por 4 para que os coeficientes de 0x + 13y + 13z = -13 sejam iguais:
13y + 13z = -13 (Equação 4) çãçã
Agora, subtraímos a nova Equação 1 da nova Equação 2 para eliminar :
çã

Passo 4

Agora, vamos eliminar 20x - 15y + 5z = 15 (Equação 1 mu usando a Equação 1 e a Equação 3. Multiplicamos a Equação 1 por 5 e a Equação 3 por 4:
(20x - 8y + 12z) - (20x - 15y + 5z) = 8 - 15 çãçã
Subtraindo a nova Equação 1 da nova Equação 3:
0x + 7y + 7z = -7
7y + 7z = -7 (Equação 5)
çã

Passo 5

Agora temos duas equações com 13y + 13z = -13 (Equação 4) 7y + 7z = -7 (Equação 5) e y + z = -1 (Equação 4 simplificada) y + z = -1 (Equação 5 simplificada) :
çãçã
Podemos simplificar ambas dividindo os coeficientes por 13 e 7, respectivamente:
çãçã
Percebemos que as duas equações são iguais, o que indica que temos uma dependência linear e, portanto, uma infinidade de soluções para e .

Passo 6

Vamos atribuir um valor livre para uma das variáveis. Por exemplo, deixamos y + t = -1 implies y = -1 - t , onde 4x - 3y + z = 3 é um parâmetro real.
A partir da Equação 4 simplificada:
4x - 3(-1 - t) + t = 3
Agora, temos 4x + 3 + 3t + t = 3 e 4x + 4t + 3 = 3 em termos de 4x + 4t = 0 implies x = -t . Vamos descobrir usando a Equação 1 original:
Substituindo e :

Passo 7

Agora temos todas as variáveis expressas em termos de x = -t y = -1 - t z = t :
Isso significa que o sistema possui infinitas soluções, pois pode assumir qualquer valor real.

Resposta

O sistema possui infinitas soluções, dadas por:
x = -t y = -1 - t z = t onde t in R

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