Calcular o campo elétrico devido a uma casca esférica de carga total Q. (a) Mostrar que para pontos externos da casca o campo é o mesmo de uma carga pontual com carga Q.(b) Mostre que o campo é nulo para pontos internos a casca.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para calcular o campo elétrico gerado por uma casca esférica com carga total
. Para isso, vamos usar a Lei de Gauss, que é muito útil quando lidamos com distribuições de carga de alta simetria, como a esférica.
Passo 2
Primeiro, vamos tratar do item (a), que pede para mostrar que, para pontos externos à casca, o campo elétrico é o mesmo que o gerado por uma carga pontual
. Isso significa que, fora da casca, o campo elétrico age como se toda a carga estivesse concentrada no centro da casca.
Passo 3
Escolhemos uma superfície gaussiana esférica com raio
maior que o raio da casca
(
). Devido à simetria esférica, o campo elétrico
terá a mesma magnitude em todos os pontos dessa superfície e será radial, ou seja, perpendicular à superfície.
Passo 4
Aplicamos a Lei de Gauss:
Aqui,
porque toda a carga está dentro da superfície gaussiana.
Passo 5
Como
é constante em magnitude e radial:
Resolvendo para
:
Isso mostra que o campo elétrico externo é igual ao de uma carga pontual
no centro.
Passo 6
Agora, vamos para o item (b), que pede para mostrar que o campo elétrico é nulo para pontos internos à casca (
). Neste caso, a carga dentro da superfície gaussiana é zero, pois toda a carga
está na casca externa.
Passo 7
Aplicando novamente a Lei de Gauss para
:
Como a área não é zero, isso implica que
.
Resposta
(a) Para pontos externos à casca, o campo elétrico é
.
(b) Para pontos internos à casca, o campo elétrico é nulo, ou seja,
.
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