Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
integral duplaD raiz1-x^2-y^2 d x d y
D representa a quarta parte do disco x^2+y^2 <= 1, do primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
integral duplaD raiz1 - x^2 - y^2 , dx , dy
Onde é a quarta parte do disco no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e ajustar nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
x = r cos(theta)
y = r sin(theta)
E o elemento de área vira nas coordenadas polares. Além disso, a expressão se transforma em porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como integral0^pi2 integral0^1 raiz1 - r^2 cdot r , dr , dtheta é a quarta parte do disco no primeiro quadrante:
  • varia de 0 a 1 (o raio do disco).
  • varia de 0 a radians (90 graus), cobrindo o primeiro quadrante.
Então, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 r raiz1 - r^2 , dr :
-12 integralu=1^u=0 raizu , du = 12 integral0^1 u^1/2 , du
Para isso, fazemos uma substituição para facilitar. Seja 12 [ 23 u^3/2 ]0^1 = 12 cdot 23 (1^3/2 - 0) = 13 , então , ou seja, . Substituindo:
Integrando :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi2 13 , dtheta = 13 [ theta ]0^pi2 = 13 cdot pi2 = pi6

Resposta

O valor da integral dupla é .

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