Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares
D representa a quarta parte do disco
, do primeiro quadrante.
D representa a quarta parte do disco
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
Onde
é a quarta parte do disco
no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas
para polares
e ajustar nossos limites de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
E o elemento de área
vira
nas coordenadas polares. Além disso, a expressão
se transforma em
porque
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração. Como
é a quarta parte do disco no primeiro quadrante:
-
varia de 0 a 1 (o raio do disco). -
varia de 0 a radians (90 graus), cobrindo o primeiro quadrante.
Então, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Para isso, fazemos uma substituição para facilitar. Seja
, então
, ou seja,
. Substituindo:
Integrando
:
Passo 5
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
O valor da integral dupla é
.
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