Calcular a Integral dupla usando coordenadas polares

D representa a quarta parte do disco , do primeiro quadrante.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma integral dupla usando coordenadas polares. O enunciado é:
Onde é a quarta parte do disco no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos usar coordenadas polares, que são super úteis para áreas circulares. Vamos precisar converter as coordenadas cartesianas para polares e ajustar nossos limites de integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como converter de coordenadas cartesianas para polares:
E o elemento de área vira nas coordenadas polares. Além disso, a expressão se transforma em porque .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração. Como é a quarta parte do disco no primeiro quadrante:
  • varia de 0 a 1 (o raio do disco).
  • varia de 0 a radians (90 graus), cobrindo o primeiro quadrante.
Então, a integral fica assim:

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Para isso, fazemos uma substituição para facilitar. Seja , então , ou seja, . Substituindo:
Integrando :

Passo 5

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:

Resposta

O valor da integral dupla é .

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