Um disco de espessura desprezível e de raio R=40 cm é vazado no seu centro por um orifício r=30 cm e acha-se uniformemente eletrizado com sigma=14 pi mu C / m^2. Calcular o campo no ponto P do eixo da distribuição e a z=40 cm do seu plano.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um disco bem fino com raio total de R=40 cm, mas tem um buraco central de raio r=30 cm. Esse disco está eletrizado de forma uniforme com densidade superficial de carga sigma=14 pi mu C / m^2. A gente precisa calcular o campo elétrico no ponto P que está no eixo do disco, a uma distância z=40 cm do plano do disco. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de campo elétrico de discos carregados e integrais para considerar a geometria com o buraco.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o disco com o buraco como um anel circular. Isso porque temos um disco grande de raio 40 cm com um círculo menor de 30 cm retirado do centro. Então, o campo elétrico será a diferença entre o campo de um disco completo e o campo do disco que foi “retirado” (o buraco).

Passo 3

Sabemos que o campo elétrico no eixo de um disco carregado uniformemente é dado pela fórmula:
E(z) = sigma2 varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2)
Onde:
  • sigma é a densidade superficial de carga,
  • varepsilon0 é a permissividade do vácuo,
  • z é a distância ao longo do eixo,
  • R é o raio do disco.

Passo 4

Para o nosso caso, como temos um anel (disco com buraco), vamos calcular o campo do disco maior (raio 40 cm) e subtrair o campo do disco menor (raio 30 cm). Assim:
Eanel = Emaior - Emenor

Passo 5

Vamos calcular Emaior usando R=0.40 m:
Emaior = sigma2 varepsilon0 (1 - zraizz^2 + R^2)

Passo 6

Agora, calculamos Emenor usando R=0.30 m:
Emenor = sigma2 varepsilon0 (1 - zraizz^2 + r^2)

Passo 7

Substituímos os valores na equação:
  • sigma = 14 pi times 10^-6 C/m^2 (convertemos μC para C),
  • z = 0.40 m,
  • R = 0.40 m,
  • r = 0.30 m,
  • varepsilon0 = 8.85 times 10^-12 C^2/(N cdot m^2).

Passo 8

Calculamos cada parte separadamente:
Emaior = 14 pi times 10^-62 times 8.85 times 10^-12 (1 - 0.40raiz0.40^2 + 0.40^2)
Emenor = 14 pi times 10^-62 times 8.85 times 10^-12 (1 - 0.40raiz0.40^2 + 0.30^2)

Passo 9

Resolvendo os termos dentro dos parênteses:
Para Emaior:
1 - 0.40raiz0.16 + 0.16 = 1 - 0.40raiz0.32 = 1 - 0.400.5657 approx 1 - 0.7071 = 0.2929
Para Emenor:
1 - 0.40raiz0.16 + 0.09 = 1 - 0.40raiz0.25 = 1 - 0.400.5 = 1 - 0.8 = 0.2

Passo 10

Calculando os campos:
Emaior = 14 pi times 10^-62 times 8.85 times 10^-12 times 0.2929 approx 7.9577 times 10^41 times 0.2929 approx 2.333 times 10^4 N/C
Emenor = 14 pi times 10^-62 times 8.85 times 10^-12 times 0.2 approx 7.9577 times 10^41 times 0.2 approx 1.592 times 10^4 N/C

Passo 11

Subtraímos os campos para obter o campo do anel:
Eanel = 2.333 times 10^4 - 1.592 times 10^4 = 7.41 times 10^3 N/C

Resposta

O campo elétrico no ponto P é aproximadamente 7.41 times 10^3 N/C.

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