Integrais triplas em coordenadas esféricas
Calcular o volume da esfera sólida
Calcular o volume da esfera sólida
Passo 1
Beleza, vamos calcular o volume de uma esfera sólida definida pela equação
. Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas esféricas. Precisaremos entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e montar os limites de integração apropriados para essa esfera.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
-
: a distância do ponto até a origem. -
: o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo . -
: o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano .
As relações de conversão de coordenadas cartesianas
para esféricas
são:
Passo 3
Agora, precisamos determinar os limites de integração para cada uma das coordenadas esféricas dentro da esfera
.
-
varia de a , já que a distância máxima na esfera é . -
varia de a , cobrindo de cima a baixo da esfera. -
varia de a , completando uma volta completa no plano .
Passo 4
Em coordenadas esféricas, o elemento de volume
é dado por:
Então, a integral tripla para o volume
da esfera será:
Passo 5
Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integremos em relação a
:
Agora, integremos em relação a
:
Por fim, integremos em relação a
:
Multiplicando todos os resultados:
Resposta
O volume da esfera sólida é
.