Integrais triplas em coordenadas esféricas
Calcular o volume da esfera sólida x^2+y^2+z^2 <= a^2

Passo 1

Beleza, vamos calcular o volume de uma esfera sólida definida pela equação . Para isso, vamos usar integrais triplas em coordenadas esféricas. Precisaremos entender como converter coordenadas cartesianas para esféricas e montar os limites de integração apropriados para essa esfera.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar como são as coordenadas esféricas. Em coordenadas esféricas, qualquer ponto no espaço é descrito por três parâmetros:
  • x = rho sintheta cosphi : a distância do ponto até a origem.
  • y = rho sintheta sinphi : o ângulo polar, medindo a inclinação em relação ao eixo z = rho costheta .
  • : o ângulo azimutal, medindo a rotação no plano .
As relações de conversão de coordenadas cartesianas para esféricas são:

Passo 3

Agora, precisamos determinar os limites de integração para cada uma das coordenadas esféricas dentro da esfera .
  • varia de a , já que a distância máxima na esfera é .
  • varia de a , cobrindo de cima a baixo da esfera.
  • varia de a , completando uma volta completa no plano .

Passo 4

Em coordenadas esféricas, o elemento de volume dV = rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi é dado por:
V = integral0^2pi integral0^pi integral0^a rho^2 sintheta , drho , dtheta , dphi
Então, a integral tripla para o volume da esfera será:

Passo 5

Vamos resolver a integral passo a passo.
Primeiro, integremos em relação a integral0^a rho^2 drho = [ rho^33 ]0^a = a^33 :
integral0^pi sintheta , dtheta = [ -costheta ]0^pi = -cospi + cos0 = 2
Agora, integremos em relação a integral0^2pi dphi = 2pi :
V = a^33 times 2 times 2pi = 43 pi a^3
Por fim, integremos em relação a :
Multiplicando todos os resultados:

Resposta

O volume da esfera sólida é .

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