Um disco dielétrico de espessura desprezível e de raio R tem densidade superficial de cargas variando segundo
(onde k é uma constante e
é a distância do ponto do disco, onde se está examinando
, até o centro do disco). Determinar o campo em um ponto genérico do eixo do disco.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um disco dielétrico bem fininho, com raio R, e a densidade de carga na superfície desse disco varia conforme a distância
do centro, ou seja,
, onde
é uma constante. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto qualquer que esteja no eixo desse disco.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o campo elétrico devido a uma distribuição de carga, usamos a Lei de Coulomb ou a Lei de Gauss. Mas, como a distribuição de carga aqui varia com a distância, vamos precisar integrar as contribuições de cada pedacinho de carga no disco.
Passo 3
Vamos considerar um anel infinitesimal no disco, com raio
e espessura
. A área desse anel é
. A carga nessa área é
.
Passo 4
O campo elétrico no eixo devido a esse anel de carga é
, onde
é a distância do ponto no eixo ao centro do disco.
Passo 5
Substituindo
na expressão de
, temos:
Passo 6
Para achar o campo total, integramos
de
até
:
Passo 7
Fazendo a substituição
, então
. Ajustando os limites e simplificando a integral, conseguimos resolver e obter:
Resposta
O campo elétrico no ponto genérico do eixo do disco é: