Um disco dielétrico de espessura desprezível e de raio R tem densidade superficial de cargas variando segundo sigma=k rho (onde k é uma constante e rho é a distância do ponto do disco, onde se está examinando sigma, até o centro do disco). Determinar o campo em um ponto genérico do eixo do disco.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um disco dielétrico bem fininho, com raio R, e a densidade de carga na superfície desse disco varia conforme a distância do centro, ou seja, , onde é uma constante. Nosso objetivo aqui é descobrir qual é o campo elétrico em um ponto qualquer que esteja no eixo desse disco.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para encontrar o campo elétrico devido a uma distribuição de carga, usamos a Lei de Coulomb ou a Lei de Gauss. Mas, como a distribuição de carga aqui varia com a distância, vamos precisar integrar as contribuições de cada pedacinho de carga no disco.

Passo 3

Vamos considerar um anel infinitesimal no disco, com raio e espessura . A área desse anel é . A carga nessa área é .

Passo 4

O campo elétrico no eixo devido a esse anel de carga é , onde é a distância do ponto no eixo ao centro do disco.

Passo 5

Substituindo dE = 14piepsilon0 cdot 2pi k rho^2 z drho(z^2 + rho^2)^3/2 = k z2epsilon0 cdot rho^2 drho(z^2 + rho^2)^3/2 na expressão de , temos:

Passo 6

Para achar o campo total, integramos E = integral0^R k z2epsilon0 cdot rho^2 drho(z^2 + rho^2)^3/2 de até :

Passo 7

Fazendo a substituição E = k z2epsilon0 [ rhoraizz^2 + rho^2 ]0^R = k z2epsilon0 ( Rraizz^2 + R^2 - 0 ) , então . Ajustando os limites e simplificando a integral, conseguimos resolver e obter:

Resposta

O campo elétrico no ponto genérico do eixo do disco é:
E = k z R2epsilon0 raizz^2 + R^2

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