Uma partícula
de massa
se pode deslizar livremente ao longo de um longo fio reto.
está conectada a um ponto fixo
, que está a uma distância
do fio, por uma mola leve de comprimento natural
e constante elástica
. Encontre o período aproximado de pequenas oscilações de
em torno de sua posição de equilíbrio.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula
com massa
que desliza livremente ao longo de um fio reto. Essa partícula está ligada a um ponto fixo
por uma mola que tem comprimento natural
e constante elástica
. O ponto fixo
está a uma distância
do fio. Nosso objetivo é encontrar o período das pequenas oscilações de
ao redor da posição de equilíbrio. Vamos precisar entender conceitos de equilíbrio, forças elásticas e movimento harmônico simples para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos determinar a posição de equilíbrio da partícula
. No equilíbrio, a força da mola estará balanceada com a força resultante devido à geometria do sistema. A mola está ligada a
, que está a
do fio, enquanto o comprimento natural da mola é
. Assim, a partícula se desloca até que o comprimento da mola seja igual ao comprimento natural, garantindo que não haja força elástica atuando sobre ela nesse ponto.
Passo 3
Agora, vamos considerar pequenas oscilações ao redor dessa posição de equilíbrio. Quando a partícula se desvia um pouco, a mola sofre uma deformação pequena, e a força restauradora que a mola exerce pode ser aproximada pela Lei de Hooke:
, onde
é a pequena deformação da mola. Essa força atuará como a força restauradora que causa o movimento harmônico simples.
Passo 4
Com a força restauradora identificada, podemos usar a fórmula do período
para um movimento harmônico simples, que é dado por:
Aqui,
é a constante elástica efetiva da mola no sistema. No nosso caso, como estamos lidando com uma mola e uma geometria específica,
será simplesmente
, já que a deformação ocorre na direção da mola.
Resposta
Portanto, o período das pequenas oscilações de
é:
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Um oscilador harmônico satisfaz a equação:
. Inicialmente, a partícula se encontra em
enquanto se dirige em direção à origem com velocidade 2. Mostre que, no movimento subsequente
Deduza a amplitude das oscilações. Quanto tempo demora para a partícula atingir a origem?
Demostre que
é, na realidade, a solução para o amortecimento crítico, supondo uma solução da forma
e determinando a função
.
Calcular o potencial e o campo gravitacional produzido por duas massas iguais separadas pela distância
. Expresse estas quantidades em coordenadas polares
.
Calcular o campo gravitacional produzido por uma camada fina de matéria distribuida sobre um plano infinito.