Uma partícula de massa se pode deslizar livremente ao longo de um longo fio reto. está conectada a um ponto fixo , que está a uma distância do fio, por uma mola leve de comprimento natural e constante elástica . Encontre o período aproximado de pequenas oscilações de em torno de sua posição de equilíbrio.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre uma partícula com massa que desliza livremente ao longo de um fio reto. Essa partícula está ligada a um ponto fixo por uma mola que tem comprimento natural e constante elástica . O ponto fixo está a uma distância do fio. Nosso objetivo é encontrar o período das pequenas oscilações de ao redor da posição de equilíbrio. Vamos precisar entender conceitos de equilíbrio, forças elásticas e movimento harmônico simples para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos determinar a posição de equilíbrio da partícula . No equilíbrio, a força da mola estará balanceada com a força resultante devido à geometria do sistema. A mola está ligada a , que está a do fio, enquanto o comprimento natural da mola é . Assim, a partícula se desloca até que o comprimento da mola seja igual ao comprimento natural, garantindo que não haja força elástica atuando sobre ela nesse ponto.

Passo 3

Agora, vamos considerar pequenas oscilações ao redor dessa posição de equilíbrio. Quando a partícula se desvia um pouco, a mola sofre uma deformação pequena, e a força restauradora que a mola exerce pode ser aproximada pela Lei de Hooke: , onde é a pequena deformação da mola. Essa força atuará como a força restauradora que causa o movimento harmônico simples.

Passo 4

Com a força restauradora identificada, podemos usar a fórmula do período para um movimento harmônico simples, que é dado por:
Aqui, é a constante elástica efetiva da mola no sistema. No nosso caso, como estamos lidando com uma mola e uma geometria específica, será simplesmente , já que a deformação ocorre na direção da mola.

Resposta

Portanto, o período das pequenas oscilações de é:

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Demostre que
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