Calcular a capacitância de capacitores:
capacitor cilíndrico muito longo, de comprimento
, placas com raio interno
e externo
, ii) com uma casca dielétrica de constante dielétrica
e com raios
e
capacitor cilíndrico muito longo, de comprimento
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a capacitância de dois tipos de capacitores cilíndricos muito longos. O conteúdo principal aqui é Eletrostática, especificamente sobre capacitância de capacitores. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a capacitância de capacitores cilíndricos e como a presença de um dielétrico afeta esse cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte i) do exercício: um capacitor cilíndrico muito longo com comprimento $ L $, raio interno $ a $ e raio externo $ b $. A capacitância $ C $ de um capacitor cilíndrico pode ser calculada usando a fórmula:
Aqui, $ \varepsilon_0 $ é a permissividade do vácuo, e $ \ln $ representa o logaritmo natural.
Passo 3
Agora, vamos entender essa fórmula. A capacitância mede a capacidade de um capacitor de armazenar carga elétrica. No caso de um cilindro longo, consideramos a simetria cilíndrica para derivar a expressão. A diferença de potencial entre as duas “placas” (no caso, cilindros) depende da geometria, que aqui envolve os raios $ a $ e $ b $ e o comprimento $ L $.
Passo 4
Vamos calcular a capacitância substituindo os valores na fórmula. Suponha que nos sejam dados valores específicos para $ a $, $ b $ e $ L $, mas como não temos números, deixaremos a expressão geral assim mesmo:
Isso nos dá a capacitância do primeiro capacitor cilíndrico sem dielétrico.
Passo 5
Agora, vamos para a parte ii): o capacitor tem uma casca dielétrica com constante dielétrica $ K $, e os raios internos e externos da casca são $ c > a $ e $ d < b $, respectivamente. Quando introduzimos um dielétrico, a capacitância aumenta em um fator igual à constante dielétrica $ K $.
Passo 6
A nova capacitância $ C’ $ com o dielétrico é dada por:
Isso significa que o dielétrico está aumentando a capacidade de armazenar carga do capacitor.
Resposta
A capacitância dos capacitores cilíndricos muito longos é:
i) Sem dielétrico:
ii) Com uma casca dielétrica de constante $ K $: