Cristal unidimensional (constante de Madelung). Considere um cristal iônico composto por ions +e- de valor igual a carga eletrônica e dispostos alternativamente em uma linha reta infinita. Calcular a energia potencial eletrostática. Use a expansão de ln (1+x)=x-x^2 / 2+x^3 / 3-ldots

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a energia potencial eletrostática de um cristal iônico unidimensional. Estamos lidando com cristais iônicos, especificamente com íons positivos e negativos alternados em uma linha infinita. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia devido às interações eletrostáticas entre esses íons e usar a expansão da função natural do logaritmo ( ln(1+x)) para simplificar nossa soma infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a disposição dos íons. Imagine uma linha infinita onde os íons positivos ( +e) e os íons negativos ( -e) estão alternados: +e -e +e -e +e -e . Cada íon positivo atrai os negativos e repele os positivos, e vice-versa. A energia potencial eletrostática total será a soma de todas essas interações.

Passo 3

A energia potencial eletrostática entre dois íons é dada por:
Uij = 14pi varepsilon0 qi qjrij
Onde qi e qj são as cargas dos íons e rij é a distância entre eles. No nosso caso, as cargas alternam entre +e e -e, e as distâncias são múltiplos de uma distância básica a entre íons vizinhos.

Passo 4

Para uma linha infinita, precisamos somar todas as interações possíveis. Isso resulta em uma série infinita:
U = 14pi varepsilon0 e^2 sumn=1^infty (-1)^n+1n a
Aqui, (-1)^n+1 representa a alternância das cargas, e n a é a distância entre os íons a n posições de separação.

Passo 5

Essa série se assemelha à expansão da função logarítmica que foi mencionada no enunciado. A expansão de ln(1+x) é:
ln(1+x) = x - x^22 + x^33 - ldots
Perceba que a série da energia potencial tem termos com sinais alternados e fatores 1/n, assim podemos relacionar as duas expressões.

Passo 6

Vamos identificar x na nossa série de energia com um valor que nos permita usar a expansão do logaritmo. Observando a série, vemos que:
sumn=1^infty (-1)^n+1n = ln(2)
Portanto, nossa energia potencial pode ser reescrita como:
U = 14pi varepsilon0 e^2a ln(2)

Resposta

A energia potencial eletrostática do cristal iônico unidimensional é:
U = e^24pi varepsilon0 a ln(2)

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