Cristal unidimensional (constante de Madelung). Considere um cristal iônico composto por ions
de valor igual a carga eletrônica
dispostos alternativamente em uma linha reta infinita. Calcular a energia potencial eletrostática. Use a expansão de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a energia potencial eletrostática de um cristal iônico unidimensional. Estamos lidando com cristais iônicos, especificamente com íons positivos e negativos alternados em uma linha infinita. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a energia devido às interações eletrostáticas entre esses íons e usar a expansão da função natural do logaritmo (
) para simplificar nossa soma infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a disposição dos íons. Imagine uma linha infinita onde os íons positivos (
) e os íons negativos (
) estão alternados:
. Cada íon positivo atrai os negativos e repele os positivos, e vice-versa. A energia potencial eletrostática total será a soma de todas essas interações.
Passo 3
A energia potencial eletrostática entre dois íons é dada por:
Onde
e
são as cargas dos íons e
é a distância entre eles. No nosso caso, as cargas alternam entre
e
, e as distâncias são múltiplos de uma distância básica
entre íons vizinhos.
Passo 4
Para uma linha infinita, precisamos somar todas as interações possíveis. Isso resulta em uma série infinita:
Aqui,
representa a alternância das cargas, e
é a distância entre os íons a
posições de separação.
Passo 5
Essa série se assemelha à expansão da função logarítmica que foi mencionada no enunciado. A expansão de
é:
Perceba que a série da energia potencial tem termos com sinais alternados e fatores
, assim podemos relacionar as duas expressões.
Passo 6
Vamos identificar
na nossa série de energia com um valor que nos permita usar a expansão do logaritmo. Observando a série, vemos que:
Portanto, nossa energia potencial pode ser reescrita como:
Resposta
A energia potencial eletrostática do cristal iônico unidimensional é: