Calcular, caso exista, o valor de .
Considere a função


Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função está definida de duas formas:
  • Para :
  • Para :
Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de segunda ordem e verificar se essa derivada existe no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda derivada parcial é basicamente a derivada da derivada parcial de em relação a , calculada no ponto .
Então, vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para calcular , vamos derivar cada termo de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
    (Porque é tratado como constante em relação a ).
  3. Derivada de em relação a :
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada parcial, ou seja, derivar em relação a novamente:
Vamos derivar cada termo de :
  1. Derivada de em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
    Vamos usar a regra do quociente:
    Simplificando:
Então, a segunda derivada parcial é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa segunda derivada no ponto .
Primeiro, observamos que diretamente substituindo e na expressão de dá uma forma indeterminada, pois temos divisões por zero. Então, precisamos analisar o limite da segunda derivada à medida que se aproxima de .
Vamos considerar :
Então, o limite quando é:

Resposta

O valor de é igual a 1.

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