Calcular, caso exista, o valor de partial^2 fpartial x^2(0,0).
Considere a função
f(x, y)=cc (x-1) e^x+e^y+x yx^2+y^2 & se (x, y) neq(0,0) 20 & se (x, y)=(0,0)
y=0
lim x 0(x-1) cdot e^x+1=-1 cdot 1+1=0
x 0

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem que calcular a segunda derivada parcial de em relação a , ou seja, . A função está definida de duas formas:
  • Para :
  • Para :
Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de segunda ordem e verificar se essa derivada existe no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a segunda derivada parcial é basicamente a derivada da derivada parcial de em relação a , calculada no ponto .
Então, vamos começar calculando a primeira derivada parcial de em relação a , ou seja, .

Passo 3

Para calcular partialpartial x ( (x-1)e^x ) = e^x + (x-1)e^x = (x)e^x , vamos derivar cada termo de partialpartial x ( e^y ) = 0 em relação a partialpartial x ( xyx^2+y^2 ) = y(x^2+y^2) - xy(2x)(x^2+y^2)^2 = y(x^2+y^2 - 2x^2)(x^2+y^2)^2 = y(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2 :
  1. Derivada de partial fpartial x = x e^x + y(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2 em relação a :
  2. Derivada de em relação a :
    (Porque é tratado como constante em relação a ).
  3. Derivada de em relação a :
Então, juntando tudo:

Passo 4

Agora, precisamos calcular a segunda derivada parcial, ou seja, derivar partialpartial x ( x e^x ) = e^x + x e^x = (x + 1)e^x em relação a partialpartial x ( y(y^2 - x^2)(x^2+y^2)^2 ) = y(-2x)(x^2+y^2)^2 - y(y^2 - x^2) cdot 2(x^2+y^2) cdot 2x(x^2+y^2)^4 novamente:
Vamos derivar cada termo de -2xy(x^2+y^2) - 4x y (y^2 - x^2)(x^2+y^2)^3 = -2xy(x^2+y^2) - 4xy y^2 + 4x^3 y(x^2+y^2)^3 :
  1. Derivada de = -2xy(x^2+y^2 + 2y^2 - 2x^2)(x^2+y^2)^3 = -2xy(3y^2 - x^2)(x^2+y^2)^3 em relação a partial^2 fpartial x^2 = (x + 1)e^x - 2xy(3y^2 - x^2)(x^2+y^2)^3 :
  2. Derivada de em relação a :
    Vamos usar a regra do quociente:
    Simplificando:
Então, a segunda derivada parcial é:

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa segunda derivada no ponto partial^2 fpartial x^2 = (x + 1)e^x - 2x cdot 0 cdot (3 cdot 0^2 - x^2)(x^2+0^2)^3 = (x + 1)e^x .
Primeiro, observamos que diretamente substituindo limx to 0 (x + 1)e^x = (0 + 1)e^0 = 1 cdot 1 = 1 e na expressão de dá uma forma indeterminada, pois temos divisões por zero. Então, precisamos analisar o limite da segunda derivada à medida que se aproxima de .
Vamos considerar :
Então, o limite quando é:

Resposta

O valor de é igual a 1.

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