Calcular, caso exista, o valor de
.
Considere a função
Considere a função
Passo 1
Então, vamos lá! A gente tem que calcular a segunda derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
. A função
está definida de duas formas:
- Para
: - Para
:
Vamos precisar entender como calcular derivadas parciais de segunda ordem e verificar se essa derivada existe no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a segunda derivada parcial
é basicamente a derivada da derivada parcial de
em relação a
, calculada no ponto
.
Então, vamos começar calculando a primeira derivada parcial de
em relação a
, ou seja,
.
Passo 3
Para calcular
, vamos derivar cada termo de
em relação a
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a : (Porqueé tratado como constante em relação a ). -
Derivada de
em relação a :
Então, juntando tudo:
Passo 4
Agora, precisamos calcular a segunda derivada parcial, ou seja, derivar
em relação a
novamente:
Vamos derivar cada termo de
:
-
Derivada de
em relação a : -
Derivada de
em relação a :
Vamos usar a regra do quociente:Simplificando:
Então, a segunda derivada parcial é:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa segunda derivada no ponto
.
Primeiro, observamos que diretamente substituindo
e
na expressão de
dá uma forma indeterminada, pois temos divisões por zero. Então, precisamos analisar o limite da segunda derivada à medida que
se aproxima de
.
Vamos considerar
:
Então, o limite quando
é:
Resposta
O valor de
é igual a 1.
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