Calcular, caso existam, as inversas das matrizes dadas utilizando determinantes:
[ccc1 & 2 & 4 3 & -1 & 2 1 & -5 & 6]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a matriz inversa da seguinte matriz usando determinantes:
1 & 2 & 4 3 & -1 & 2 1 & -5 & 6
Para isso, vamos usar conceitos de determinantes e matrizes adjuntas. Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz original. Se o determinante for diferente de zero, a inversa existe!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o determinante da matriz. Para uma matriz 3x3, usamos a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores. Vou usar a expansão por cofatores aqui. A matriz é:
A = 1 & 2 & 4 3 & -1 & 2 1 & -5 & 6
O determinante de det(A) = 1 cdot -1 & 2 -5 & 6 - 2 cdot 3 & 2 1 & 6 + 4 cdot 3 & -1 1 & -5 (denotado por ) é calculado assim:

Passo 3

Vamos calcular cada um desses menores:
  1. Primeiro menor:
-1 & 2 -5 & 6 = (-1)(6) - (2)(-5) = -6 + 10 = 4
  1. Segundo menor:
3 & 2 1 & 6 = 3 cdot 6 - 2 cdot 1 = 18 - 2 = 16
  1. Terceiro menor:
3 & -1 1 & -5 = 3 cdot (-5) - (-1) cdot 1 = -15 + 1 = -14

Passo 4

Agora, substituindo esses valores no cálculo do determinante:
det(A) = 1 cdot 4 - 2 cdot 16 + 4 cdot (-14) = 4 - 32 - 56 = -84
Como o determinante é (diferente de zero), sabemos que a inversa existe!

Passo 5

Vamos agora encontrar a matriz dos cofatores. Para cada elemento da matriz original, calculamos o menor correspondente e aplicamos um sinal alternado (+ ou -) baseado na posição.
Calculando os cofatores:

[
C = \begin{pmatrix}
+
C = + -1 & 2 -5 & 6 & - 3 & 2 1 & 6 & + 3 & -1 1 & -5 - 2 & 4 -5 & 6 & + 1 & 4 1 & 6 & - 1 & 2 1 & -5 + 2 & 4 -1 & 2 & - 1 & 4 3 & 2 & + 1 & 2 3 & -1 & -
C = 4 & -16 & -14 (2 cdot 6 - 4 cdot (-5)) & (1 cdot 6 - 4 cdot 1) & (1 cdot (-5) - 2 cdot 1) (2 cdot 2 - 4 cdot (-1)) & (1 cdot 2 - 4 cdot 3) & (1 cdot (-1) - 2 cdot 3) & +
C = 4 & -16 & -14 (12 + 20) & (6 - 4) & (-5 -2) (4 + 4) & (2 -12) & (-1 -6) = 4 & -16 & -14 32 & 2 & -7 8 & -10 & -7 \

& +
& -
\
+
& -
& +

\end{pmatrix}
]
Substituindo os valores dos menores que já calculamos e calculando os novos:
Calculando:

Passo 6

Agora, vamos transpor a matriz dos cofatores para obter a matriz adjunta ( adj(A) = C^T = 4 & 32 & 8 -16 & 2 & -10 -14 & -7 & -7 ):

Passo 7

Finalmente, a matriz inversa ( A^-1 = 1det(A) cdot adj(A) = 1-84 cdot 4 & 32 & 8 -16 & 2 & -10 -14 & -7 & -7 ) é dada por:
A^-1 = 4-84 & 32-84 & 8-84 -16-84 & 2-84 & -10-84 -14-84 & -7-84 & -7-84 = -121 & -821 & -221 421 & -142 & 542 16 & 112 & 112
Simplificando cada elemento:

Resposta

A matriz inversa é:
A^-1 = -dfrac121 & -dfrac821 & -dfrac221 dfrac421 & -dfrac142 & dfrac542 dfrac16 & dfrac112 & dfrac112

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A partir do cálculo do determinante, concluir se as seguintes matrizes são não singulares (invertíveis):
[cc5 & -1 2 & 0]
Dada a matriz A=[ccc2 & 1 & 3 -1 & 2 & 0 3 & -2 & 1], determinar:
det(A)
A partir do cálculo do determinante, concluir se as seguintes matrizes são não singulares (invertíveis):
[ccc1 & -1 & 1 -1 & 1 & 1 1 & 1 & 0]
Calcular, caso existam, as inversas das matrizes dadas utilizando determinantes:
[ccc2 & 0 & -1 3 & -1 & 2 1 & -5 & 6]