Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla
, onde
é um círculo centrado na origem com raio 2. Isso envolve um pouco de cálculo integral, mais especificamente integrais em coordenadas polares. Vamos usar trigonometria e mudança de coordenadas para facilitar nosso trabalho.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A função que estamos integrando é
, que na verdade é a distância do ponto
até a origem. Como estamos integrando sobre um círculo de raio 2, faz sentido usar coordenadas polares, onde sabemos que
vai de 0 a 2 e
vai de 0 a
.
Passo 3
Em coordenadas polares, as variáveis
e
são expressas como:
E o elemento de área
se transforma em
. Então, nossa integral fica:
Porque
.
Passo 4
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
Resposta
Exercícios relacionados
Determine a área da parte da esfera
que está dentro do paraboloide
.
Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Se
e
é a partição regular de
em seis subintervalos, ache uma soma de Riemann
de
escolhendo o ponto médio de cada intervalo.
Se
e
é a partição regular de
em 10 subintervalos, ache uma soma de Riemann
de
escolhendo o ponto médio de cada subintervalo de
.