Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla , onde é um círculo centrado na origem com raio 2. Isso envolve um pouco de cálculo integral, mais especificamente integrais em coordenadas polares. Vamos usar trigonometria e mudança de coordenadas para facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A função que estamos integrando é , que na verdade é a distância do ponto até a origem. Como estamos integrando sobre um círculo de raio 2, faz sentido usar coordenadas polares, onde sabemos que vai de 0 a 2 e vai de 0 a .

Passo 3

Em coordenadas polares, as variáveis e são expressas como:
E o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral fica:
Porque .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a :
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

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Determine a área da parte da esfera que está dentro do paraboloide .
Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Se e é a partição regular de em seis subintervalos, ache uma soma de Riemann de escolhendo o ponto médio de cada intervalo.
Se e é a partição regular de em 10 subintervalos, ache uma soma de Riemann de escolhendo o ponto médio de cada subintervalo de .