Calcular
(x cdot a)^2r^2, I=integral duplaR^square raizx^2+y^2 d x d y
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.: 16 pi3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular uma integral dupla , onde é um círculo centrado na origem com raio 2. Isso envolve um pouco de cálculo integral, mais especificamente integrais em coordenadas polares. Vamos usar trigonometria e mudança de coordenadas para facilitar nosso trabalho.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa essa integral. A função que estamos integrando é , que na verdade é a distância do ponto até a origem. Como estamos integrando sobre um círculo de raio 2, faz sentido usar coordenadas polares, onde sabemos que vai de 0 a 2 e vai de 0 a .

Passo 3

Em coordenadas polares, as variáveis x = r cos(theta) e y = r sin(theta) são expressas como:
I = integral0^2pi integral0^2 r cdot r , dr , dtheta = integral0^2pi integral0^2 r^2 , dr , dtheta
E o elemento de área se transforma em . Então, nossa integral fica:
Porque .

Passo 4

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^2 r^2 , dr = [ r^33 ]0^2 = 83 :
I = integral0^2pi 83 , dtheta = 83 cdot [ theta ]0^2pi = 83 cdot 2pi = 16pi3
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:

Resposta

I = 16pi3

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