Determine a área da parte da esfera
que está dentro do paraboloide
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Geometria Analítica, mais especificamente envolvendo superfícies como esferas e paraboloides. A gente precisa encontrar a área da parte da esfera definida pela equação
que está dentro do paraboloide
. Para isso, vamos precisar entender como essas duas superfícies se relacionam e usar cálculo integral para determinar a área desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para facilitar nossos cálculos. A equação
pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada no ponto
.
Passo 3
Agora, vamos analisar o paraboloide
. Esse paraboloide abre na direção positiva do eixo
e tem simetria circular em torno desse eixo. Para encontrar a interseção entre a esfera e o paraboloide, substituímos
da equação do paraboloide na equação da esfera:
Simplificando:
Isso nos dá duas soluções:
-
(ponto trivial de interseção) -
Portanto, a interseção ocorre quando
.
Passo 4
Para encontrar a área da esfera dentro do paraboloide, vamos parametrizar a esfera. Usando coordenadas esféricas centradas em
, mas para simplificar, podemos mudar para coordenadas cilíndricas devido à simetria circular do paraboloide.
A área da superfície é dada por:
Contudo, para uma esfera, é mais fácil usar a fórmula da área esférica:
Onde
é o raio da esfera e
é a “altura” da região da esfera dentro do paraboloide. Sabemos que
e, a partir da interseção
, podemos determinar
.
Substituindo
na equação da esfera:
Como o paraboloide está na direção positiva do
, consideramos
. Assim, a altura
.
Portanto, a área é:
Resposta
A área da parte da esfera que está dentro do paraboloide é
.
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Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.:
Se
e
é a partição regular de
em seis subintervalos, ache uma soma de Riemann
de
escolhendo o ponto médio de cada intervalo.