Determine a área da parte da esfera que está dentro do paraboloide .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que está na área de Geometria Analítica, mais especificamente envolvendo superfícies como esferas e paraboloides. A gente precisa encontrar a área da parte da esfera definida pela equação que está dentro do paraboloide . Para isso, vamos precisar entender como essas duas superfícies se relacionam e usar cálculo integral para determinar a área desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação da esfera para facilitar nossos cálculos. A equação pode ser reescrita completando o quadrado:
Isso mostra que a esfera tem raio 2 e está centrada no ponto .

Passo 3

Agora, vamos analisar o paraboloide . Esse paraboloide abre na direção positiva do eixo e tem simetria circular em torno desse eixo. Para encontrar a interseção entre a esfera e o paraboloide, substituímos da equação do paraboloide na equação da esfera:
Simplificando:
Isso nos dá duas soluções:
  1. (ponto trivial de interseção)
Portanto, a interseção ocorre quando .

Passo 4

Para encontrar a área da esfera dentro do paraboloide, vamos parametrizar a esfera. Usando coordenadas esféricas centradas em , mas para simplificar, podemos mudar para coordenadas cilíndricas devido à simetria circular do paraboloide.
A área da superfície é dada por:
Á
Contudo, para uma esfera, é mais fácil usar a fórmula da área esférica:
Á
Onde é o raio da esfera e é a “altura” da região da esfera dentro do paraboloide. Sabemos que e, a partir da interseção , podemos determinar .
Substituindo na equação da esfera:
Como o paraboloide está na direção positiva do , consideramos . Assim, a altura .
Portanto, a área é:
Á

Resposta

A área da parte da esfera que está dentro do paraboloide é .

Exercícios relacionados

Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.:
Se e é a partição regular de em seis subintervalos, ache uma soma de Riemann de escolhendo o ponto médio de cada intervalo.