Resolver com delta de dirac e fator integrante:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou. A equação é:
E a condição inicial é
. Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender do que se trata essa equação. Ela é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
Onde, nesse caso,
e
. Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante.
Passo 3
O fator integrante (
) é dado por:
Vamos calcular:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Simplificando a expressão exponencial:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resolvendo para
:
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é: