Resolver com delta de dirac e fator integrante:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial que você me passou. A equação é:
E a condição inicial é . Vamos usar o método do fator integrante para resolver essa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender do que se trata essa equação. Ela é uma equação diferencial linear de primeira ordem da forma:
Onde, nesse caso, e . Para resolver esse tipo de equação, usamos o fator integrante.

Passo 3

O fator integrante ( ) é dado por:
Vamos calcular:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos integrar ambos os lados em relação a :
O lado esquerdo simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para :
Simplificando a expressão exponencial:

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial para encontrar :
Resolvendo para :

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial dada é:

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(1,5 pontos) Calcule o volume do sólido no primeiro octante, compreendido entre o cilindro circular e o cilindro parabólico .
Determine a área da parte da esfera que está dentro do paraboloide .
Calcular
Onde R é o círculo centrado na origem e raio 2. Resp.: