Calcular u cdot v+v cdot w+w cdot u, sabendo que u+v+w=0,|u|=2,|v|=3 e |w|=5 R=-19

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de vetores! A gente precisa calcular . Para isso, vamos usar conceitos de produto escalar e algumas propriedades de vetores que ajudam a simplificar a conta. Vamos precisar saber como trabalhar com a soma de vetores e o produto escalar entre eles.

Passo 2

Primeiro, vamos aproveitar a informação que (u + v + w) cdot (u + v + w) = 0 cdot 0 . Se somarmos esses vetores e der zero, dá pra usar isso a nosso favor. Vamos tirar o produto escalar de ambos os lados dessa igualdade com ele mesmo:

Passo 3

Sabemos que o produto escalar de um vetor com ele mesmo é igual ao quadrado da magnitude dele. Então, u cdot u + u cdot v + u cdot w + v cdot u + v cdot v + v cdot w + w cdot u + w cdot v + w cdot w = 0 . Agora, vamos expandir o lado esquerdo da igualdade usando a distributiva do produto escalar:

Passo 4

Como o produto escalar é comutativo ( |u|^2 + |v|^2 + |w|^2 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0 ), podemos simplificar:

Passo 5

Vamos substituir as magnitudes conhecidas:
2^2 + 3^2 + 5^2 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0
4 + 9 + 25 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0
38 + 2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = 0

Passo 6

Vamos isolar a soma dos produtos escalares:
2(u cdot v + u cdot w + v cdot w) = -38
u cdot v + u cdot w + v cdot w = -382
u cdot v + u cdot w + v cdot w = -19

Resposta

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b) (u wed>= v) wed>= w
Sendo dados os vetores v=(3,1,4) e w=(2,-2,3) determine as coordenadas de um vetor z,ortogonal ao eixo Oz , sabendo que v cdot z=7 e w cdot z=10.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) r1:ly=2 x-3 z=-x+5
e r2:ly=-3 x+7 z=x+1