Sendo dados os vetores v=(3,1,4) e w=(2,-2,3) determine as coordenadas de um vetor z,ortogonal ao eixo Oz , sabendo que v cdot z=7 e w cdot z=10.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
v = (3, 1, 4) e w = (2, -2, 3)
Queremos encontrar as coordenadas de um vetor v cdot z = 7 e w cdot z = 10 que seja ortogonal ao eixo Oz (ou seja, perpendicular ao eixo z) e que satisfaça as condições:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre produto escalar e sobre ser ortogonal a um eixo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa z cdot ez = 0 ser ortogonal ao eixo Oz. O eixo Oz é representado pelo vetor (x, y, z) cdot (0, 0, 1) = 0 times x + 0 times y + 1 times z = z = 0 . Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então:
Calculando o produto escalar:
Portanto, o terceiro componente de é zero. Então, .

Passo 3

Agora, vamos usar as condições dadas na questão para encontrar v cdot z = 7 e w cdot z = 10 e (3, 1, 4) cdot (x, y, 0) = 3x + 1y + 4 times 0 = 3x + y = 7 (Equação 1) . Sabemos que:
(2, -2, 3) cdot (x, y, 0) = 2x - 2y + 3 times 0 = 2x - 2y = 10 (Equação 2)
Vamos calcular cada produto escalar separadamente.
Primeiro, :
çã
Segundo, :
çã

Passo 4

Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
3x + y = 7 (Equação 1) 2x - 2y = 10 (Equação 2) çãçã
Vamos resolver esse sistema para encontrar e .

Passo 5

Primeiro, vamos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 2:
2x - 2y = 10 Rightarrow x - y = 5 (Equação 2 Simplificada) çã
Agora, podemos expressar x = y + 5 em função de :

Passo 6

Substituímos 3(y + 5) + y = 7 3y + 15 + y = 7 4y + 15 = 7 4y = 7 - 15 4y = -8 y = -2 na Equação 1:

Passo 7

Agora que temos x = (-2) + 5 = 3 , substituímos esse valor na expressão :

Passo 8

Lembrando que o terceiro componente de z = (x, y, 0) = (3, -2, 0) é zero, temos:

Resposta

As coordenadas do vetor são .

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