Sendo dados os vetores
e
determine as coordenadas de um vetor
,ortogonal ao eixo Oz , sabendo que
e
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois vetores:
Queremos encontrar as coordenadas de um vetor
que seja ortogonal ao eixo Oz (ou seja, perpendicular ao eixo z) e que satisfaça as condições:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre produto escalar e sobre ser ortogonal a um eixo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa
ser ortogonal ao eixo Oz. O eixo Oz é representado pelo vetor
. Dois vetores são ortogonais se o produto escalar entre eles for zero. Então:
Calculando o produto escalar:
Portanto, o terceiro componente de
é zero. Então,
.
Passo 3
Agora, vamos usar as condições dadas na questão para encontrar
e
. Sabemos que:
Vamos calcular cada produto escalar separadamente.
Primeiro,
:
Segundo,
:
Passo 4
Agora, temos um sistema de duas equações com duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema para encontrar
e
.
Passo 5
Primeiro, vamos simplificar a Equação 2 dividindo todos os termos por 2:
Agora, podemos expressar
em função de
:
Passo 6
Substituímos
na Equação 1:
Passo 7
Agora que temos
, substituímos esse valor na expressão
:
Passo 8
Lembrando que o terceiro componente de
é zero, temos:
Resposta
As coordenadas do vetor
são
.
Exercícios relacionados
Calcular
, sabendo que
e
Dados
e
. Calcule
.
Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a)
e
a)
e
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas
, nos casos:
e