Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a) r1:ly=2 x-3 z=-x+5
e r2:ly=-3 x+7 z=x+1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se duas retas são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Se sim, temos que encontrar esse ponto de interseção. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com equações de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar igualar as equações das retas e encontrar valores que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para as equações das duas retas:
Para a reta y = 2x - 3 z = -x + 5 :
y = -3x + 7 z = x + 1
E para a reta :
Nosso objetivo é encontrar um valor de que torna as coordenadas e iguais para ambas as retas. Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações formado pelas igualdades das coordenadas e .

Passo 3

Vamos começar igualando as expressões para 2x - 3 = -3x + 7 das duas retas:
2x + 3x - 3 = 7
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de 5x - 3 = 7 .
Primeiro, somamos 5x = 10 em ambos os lados para juntar os termos com x = 2 :
Em seguida, somamos em ambos os lados para isolar o termo com :
Por fim, dividimos ambos os lados por para encontrar :

Passo 4

Agora que encontramos z = -x + 5 = -2 + 5 = 3 , vamos usar esse valor para encontrar z = x + 1 = 2 + 1 = 3 em ambas as retas e verificar se realmente elas se cruzam.
Primeiro, substituímos na equação de da reta :
Em seguida, substituímos na equação de da reta :
Vimos que, para , ambas as retas têm . Isso confirma que as coordenadas coincidem.

Passo 5

Agora, vamos verificar a coordenada y = 2x - 3 = 2(2) - 3 = 4 - 3 = 1 para garantir que todas as coordenadas y = -3x + 7 = -3(2) + 7 = -6 + 7 = 1 , e coincidam nas duas retas.
Substituímos na equação de da reta :
E na equação de da reta :
Ambas as retas têm quando , confirmando que todas as coordenadas coincidem.

Resposta

As retas são concorrentes e se cruzam no ponto .

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