Verificar se as retas são concorrentes e, em caso afirmativo, encontrar o ponto de interseção:
a)
e
a)
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se duas retas são concorrentes, ou seja, se elas se cruzam em algum ponto. Se sim, temos que encontrar esse ponto de interseção. Estamos lidando com geometria analítica, especificamente com equações de retas no espaço tridimensional. Para resolver isso, vamos precisar igualar as equações das retas e encontrar valores que satisfaçam ambas as equações ao mesmo tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para as equações das duas retas:
Para a reta
:
E para a reta
:
Nosso objetivo é encontrar um valor de
que torna as coordenadas
e
iguais para ambas as retas. Isso significa que precisamos resolver o sistema de equações formado pelas igualdades das coordenadas
e
.
Passo 3
Vamos começar igualando as expressões para
das duas retas:
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar o valor de
.
Primeiro, somamos
em ambos os lados para juntar os termos com
:
Em seguida, somamos
em ambos os lados para isolar o termo com
:
Por fim, dividimos ambos os lados por
para encontrar
:
Passo 4
Agora que encontramos
, vamos usar esse valor para encontrar
em ambas as retas e verificar se realmente elas se cruzam.
Primeiro, substituímos
na equação de
da reta
:
Em seguida, substituímos
na equação de
da reta
:
Vimos que, para
, ambas as retas têm
. Isso confirma que as coordenadas
coincidem.
Passo 5
Agora, vamos verificar a coordenada
para garantir que todas as coordenadas
,
e
coincidam nas duas retas.
Substituímos
na equação de
da reta
:
E na equação de
da reta
:
Ambas as retas têm
quando
, confirmando que todas as coordenadas coincidem.
Resposta
As retas são concorrentes e se cruzam no ponto
.
Exercícios relacionados
Sendo dados os vetores
e
determine as coordenadas de um vetor
,ortogonal ao eixo Oz , sabendo que
e
.
Calcular
, sabendo que
e
Encontrar equações paramétricas da reta que passa por A e é simultaneamente ortogonal às retas
, nos casos:
e
Se
e
são vetores aleatórios
e
dimensionais, a variável aleatória
onde
é uma matriz
é chamada forma bilinear. Verifica-se que
em que
, e
. Utilize esse resultado para calcular
, onde
e a matriz de correlação entre
e é
.